基底変換きていへんかんchange of basisと相似そうじsimilarity

1導入どうにゅう

基底きていbasisを変かえると、ベクトルvectorそのものは変かわらないが、その座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationは変かわる。線型写像せんけいしゃぞうlinear mapについても同おなじで、写像しゃぞうmapそのものは変かわらないが、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは変かわる。

この区別くべつは線型代数せんけいだいすうlinear algebraで重要じゅうようである。行列ぎょうれつmatrixを見みたとき、それが「対象たいしょうobjectそのもの」なのか「基底きていbasisを選えらんだ後あとの表示ひょうじrepresentation」なのかを分わけないと、対角化たいかくかdiagonalizationや固有値こゆうちeigenvalueの意味いみが不明瞭ふめいりょうになる。

対角化たいかくかdiagonalizationと固有値こゆうちeigenvalueは後あとで導入どうにゅうする。この講義こうぎでは、表示ひょうじを分わける理由りゆうを見通みとおすための先取さきどりとして読よめばよい。

2用語ようごと定義ていぎ

基底変換きていへんかんchange of basis とは、同おなじベクトルvectorや同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを、別べつの基底きていbasisに関かんする座標ざひょうcoordinateで表あらわし直なおすことである。

旧基底きゅうきていold basisと新基底しんきていnew basisの間あいだで

を満みたす可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrix $$P$$P を、ここでは新基底しんきていnew basisの座標ざひょうcoordinateを旧基底きゅうきていold basisの座標ざひょうcoordinateへ直なおす基底変換行列きていへんかんぎょうれつchange-of-basis matrixと呼よぶ。

相似そうじsimilarity とは、2 つの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix $$A,B$$A,B が、ある可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrix $$P$$P によって

と書かける関係かんけいrelationである。相似そうじsimilarな行列ぎょうれつmatrixは、同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを異ことなる基底きていbasisで表示ひょうじrepresentationしたものと解釈かいしゃくできる。

3方針ほうしん

基底変換きていへんかんchange of basisでは、何なにが変かわり、何なにが変かわらないかを最初さいしょに固定こていする。

この表ひょうの固有値こゆうちeigenvalueと特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialは、あとの先取さきどりである。このページの本流ほんりゅうでは、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representation、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix、可逆行列かぎゃくぎょうれつinvertible matrixによる座標ざひょうの付つけ替かえを扱あつかう。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

平面へいめんplaneの同おなじ点てんpointでも、通常つうじょうの横軸よこじくhorizontal axis・縦軸たてじくvertical axisで測はかるか、斜ななめの軸じくaxisで測はかるかによって座標ざひょうcoordinateは変かわる。しかし、点てんpointそのものが動うごいたわけではない。

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapも同様どうようである。同おなじ回転かいてんrotationや拡大かくだいexpansionであっても、基準きじゅんにする基底きていbasisを変かえると行列ぎょうれつmatrixの形かたちは変かわる。対角化たいかくかdiagonalizationは、この発想はっそうを極端きょくたんに使つかう。固有ベクトルeigenvectorを基底きていbasisに選えらべるなら、写像しゃぞうmapは方向ほうこうdirectionごとの倍率ばいりつscale factorだけを並ならべた対角行列たいかくぎょうれつdiagonal matrixで表示ひょうじrepresentationできる。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. ベクトルvectorの座標ざひょうcoordinateを変かえる

同おなじ空間くうかんspace $$V$$V に旧基底きゅうきていold basisと新基底しんきていnew basisを選えらぶ。$$P$$P を

で定さだめる。この式しきformulaは、新基底しんきていnew basisでの係数けいすうcoefficientを旧基底きゅうきていold basisでの係数けいすうcoefficientへ翻訳ほんやくする式しきformulaである。

$$P$$P が可逆かぎゃくinvertibleでなければならないのは、座標ざひょうcoordinateを一意いちいuniqueに戻もどせなくなるからである。基底きていbasisから基底きていbasisへの変換へんかんtransformationでは、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationの情報じょうほうinformationを失うしなってはならない。

5.22. 表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを変かえる

線型写像せんけいしゃぞうlinear map $$T:V\to V$$T:V\to V の旧基底きゅうきていold basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $$A_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$$A_{\mathrm{old}} とする。つまり

である。新基底しんきていnew basisの座標ざひょうcoordinateから出発しゅっぱつすると、

であり、写像しゃぞうmapを適用てきようapplicationした後あとに新基底しんきていnew basisへ戻もどすには $$P^{-1}$$P^{-1} を掛かける。したがって

である。よって新基底しんきていnew basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

となる。

5.33. 定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえる場合ばあい

$$T:V\to W$$T:V\to W のように定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainが異ことなる場合ばあい、入力側にゅうりょくがわinput sideの基底変換きていへんかんchange of basisと出力側しゅつりょくがわoutput sideの基底変換きていへんかんchange of basisは別々べつべつに追跡ついせきする。

入力側にゅうりょくがわinput sideで

出力側しゅつりょくがわoutput sideで

とする。旧基底きゅうきていold basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを $$A_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$$A_{\mathrm{old}} とすると、新基底しんきていnew basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

である。左ひだりの $$Q^{-1}$$Q^{-1} は出力しゅつりょくoutputの座標ざひょうcoordinateを戻もどすため、右みぎの $$P$$P は入力にゅうりょくinputを旧座標きゅうざひょうold coordinateへ翻訳ほんやくするために現あらわれる。

6例題れいだい：非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basisで表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめる

6.1問題もんだい：非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basisで表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめる

$$R^2$$\mathbb R^2 の線型写像せんけいしゃぞうlinear map

を考かんがえる。標準基底ひょうじゅんきていstandard basisでは

である。非標準基底ひひょうじゅんきていnonstandard basis

に関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを求もとめる。

6.2解説かいせつ

まず基底きていベクトルbasis vectorの像ぞうimageを $$B$$B で表あらわす。

であり、

である。したがって $$B$$B に関かんする表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは

となる。変かわったのは写像しゃぞうmapではなく、基底きていbasisと表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixである。

7相似そうじsimilarityで保存ほぞんされるもの

$$B=P^{-1}AP$$B=P^{-1}AP と書かけるとき、$$A$$A と $$B$$B は同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの別表示べつひょうじalternative representationである。このため、基底きていbasisの選択せんたくによらない性質せいしつpropertyは保存ほぞんされる。

次つぎの表ひょうのうち、固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、行列式ぎょうれつしきdeterminantの行ぎょうは、あとの先取さきどりである。ここでは「同おなじ写像しゃぞうmapの別表示べつひょうじでは、表示ひょうじに依存いぞんしない量りょうが保存ほぞんされる」という見通みとおしとしてつかう。

ただし、行列ぎょうれつmatrixの成分せいぶんcomponent、列れつcolumnそのもの、標準基底ひょうじゅんきていstandard basisで見みた図形ずけいfigureの見みえ方かたは変かわる。相似そうじsimilarityは「同おなじ写像しゃぞうmapを別べつの座標ざひょうcoordinateで見みる」操作そうさoperationであって、「成分せいぶんcomponentが変かわらない」操作そうさoperationではない。

8どこまで成立せいりつするか

相似そうじsimilarityは正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix、つまり同おなじ空間くうかんspaceから同おなじ空間くうかんspaceへの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapで基底きていbasisを変かえる場合ばあいに現あらわれる。長方行列ちょうほうぎょうれつrectangular matrixでは、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえるため、$$Q^{-1}AP$$Q^{-1}AP の形かたちになる。

$$P^{-1}AP$$P^{-1}AP を使つかうときは、$$P$$P が可逆かぎゃくinvertibleであることを必かならず確認かくにんする。$$P$$P が可逆かぎゃくinvertibleでなければ基底きていbasisから基底きていbasisへの座標変換ざひょうへんかんcoordinate transformationではなく、情報じょうほうinformationを潰つぶす写像しゃぞうmapになってしまう。

9最終形さいしゅうけい

10一言ひとことでいうと

基底変換きていへんかんchange of basisは、ベクトルvectorや線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものではなく、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationを変かえる。

• 基底変換きていへんかんchange of basisでは、対象たいしょうobjectそのものではなく座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationが変かわる。
• $$[x{]}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}=P[x{]}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}$$[x]_{\mathrm{old}}=P[x]_{\mathrm{new}} という規約きやく/conventionでは、$$T:V\to V$$T:V\to V の新基底しんきていでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは $$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$A_{\mathrm{new}}=P^{-1}A_{\mathrm{old}}P である。
• 相似そうじsimilarな行列ぎょうれつmatrixは、同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを別べつの基底きていbasisで表あらわしたものなので、固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、行列式ぎょうれつしきdeterminant、階数かいすうrank、可逆性かぎゃくせいinvertibilityは保存ほぞんされる。
• $$T:V\to W$$T:V\to W では、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえるため、正ただしい形かたちは通常つうじょうの相似そうじsimilarityではなく $$Q^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$$Q^{-1}A_{\mathrm{old}}P である。

固有値こゆうちeigenvalue、特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomial、行列式ぎょうれつしきdeterminantは、あとで定義ていぎ・証明しょうめいする。このまとめでは、相似そうじが「同おなじ対象たいしょうの別表示べつひょうじ」であることの見通みとおしとして先取さきどりしている。

11演習えんしゅうリンク

12関連かんれんリンク