基底変換きていへんかんchange of basisと相似そうじsimilarity-基本演習きほんえんしゅう

1演習えんしゅう方針ほうしん

基底変換きていへんかんchange of basisで変かわるのは、ベクトルvectorそのものや線型写像せんけいしゃぞうlinear mapそのものではなく、座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationである。この演習えんしゅうでは、古ふるい基底きていbasisでの座標ざひょうcoordinate、新あたらしい基底きていbasisでの座標ざひょうcoordinate、表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを区別くべつして計算けいさんする。

この演習えんしゅうでは、$P$P は新あたらしい基底きていbasisの座標ざひょうcoordinateを古ふるい基底きていbasisの座標ざひょうcoordinateへ送おくる、つまり $[x{]}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}=P[x{]}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}$[x]_{\mathrm{old}}=P[x]_{\mathrm{new}} という規約きやくで固定こていする。このため表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixは $P^{-1}{A}_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}P$P^{-1}A_{\mathrm{old}}P と変かわる。規約きやくを逆ぎゃくにすると公式こうしきも逆ぎゃくになるので、積せきの順序じゅんじょを見みた目めだけで入いれ替かえてはいけない。

長方行列ちょうほうぎょうれつrectangular matrixの線型写像せんけいしゃぞうlinear mapでは、定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainで別々べつべつの基底変換きていへんかんchange of basisを使つかうため、$Q^{-1}AP$Q^{-1}AP の形かたちになる。どの座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixについても、まず可逆かぎゃくinvertibleであることを確認かくにんする。$P$P が特異とくいsingularなら、その列れつcolumnは基底きていbasisではなく、座標ざひょうの付つけ替かえではなく情報じょうほうを潰つぶす操作そうさになっている。

この演習えんしゅうの行列式ぎょうれつしきdeterminantと固有値こゆうちeigenvalueは、後続こうぞく演習えんしゅうへの先取さきどり確認かくにんである。本流ほんりゅうの基底変換きていへんかんの計算けいさんでは、列れつが一次独立いちじどくりつlinearly independentであること、または明示めいじした逆行列ぎゃくぎょうれつで元もとに戻もどせることを可逆性かぎゃくせいの確認かくにんに使つかう。

2確認問題かくにんもんだい：座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrix

$R^2$\mathbb{R}^2 の標準基底ひょうじゅんきていstandard basisを古ふるい基底きていbasisとする。新あたらしい基底きていbasisを

とする。ベクトルvector

の新基底しんきていに関かんする座標ざひょうcoordinate $[x{]}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}$[x]_{\mathrm{new}} を求もとめよ。

2.1解答かいとう

まず、新あたらしい基底きていbasisベクトルを列れつcolumnに並ならべる。

この $P$P は、新あたらしい座標ざひょうcoordinateを古ふるい座標ざひょうcoordinateへ戻もどす行列ぎょうれつmatrixである。

したがって、

を解とけばよい。成分せいぶんcomponentを比くらべると、

である。2 式しきを足たして $2s=4$2s=4、したがって $s=2$s=2 である。さらに $s+t=3$s+t=3 から $t=1$t=1 である。

この問題もんだいで確認かくにんしているのは、座標ざひょうcoordinateが変かわってもベクトルvectorそのものは変かわらないという点てんである。$x$x は同おなじベクトルvectorだが、基底きていbasisを変かえると数かずの組くみ合あわせが変かわる。

3確認問題かくにんもんだい：相似変換そうじへんかんsimilarity transformation

線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの古ふるい基底きていbasisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを

とする。また、新あたらしい基底きていbasisから古ふるい基底きていbasisへの座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixを

とする。新基底しんきていnew basisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrix

を求もとめよ。

3.1解答かいとう

行列式ぎょうれつしきによる確認かくにんは後続こうぞくの先取さきどりである。同おなじことは、2 つの列れつが一次独立いちじどくりつlinearly independentであり、下したに表示ひょうじする $$P^{-1}$$P^{-1} を実際じっさいに掛かけると $$I$$I に戻もどることからも確認かくにんできる。

まず $P$P が可逆かぎゃくinvertibleであることを確認かくにんする。ここでは

なので、$P^{-1}$P^{-1} が存在そんざいする。したがって

である。つぎに

である。したがって

となる。

この問題もんだいでは、左ひだりの $P^{-1}$P^{-1} と右みぎの $P$P の役割やくわりが重要じゅうようである。右みぎの $P$P は新座標しんざひょうの入力にゅうりょくinputを古座標ふるざひょうへ戻もどし、$A_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}$A_{\mathrm{old}} は古座標ふるざひょうで線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを適用てきようし、左ひだりの $P^{-1}$P^{-1} は結果けっかを新座標しんざひょうへ戻もどす。

4確認問題かくにんもんだい：定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえる

線型写像せんけいしゃぞうlinear map $T:R^2\to R^3$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 の古ふるい基底きていbasisでの表現行列ひょうげんぎょうれつrepresentation matrixを

とする。定義域ていぎいきdomainの座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixを

とし、終域しゅういきcodomainの座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixを $Q=I_3$Q=I_3 とする。このとき

を求もとめよ。

4.1解答かいとう

ここでは $Q=I_3$Q=I_3 なので、$Q^{-1}=I_3$Q^{-1}=I_3 である。したがって

を計算けいさんすればよい。

したがって

長方行列ちょうほうぎょうれつrectangular matrixでは、相似そうじsimilarityという形かたちではなく $Q^{-1}AP$Q^{-1}AP という形かたちになる。定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに持もつためである。

5確認問題かくにんもんだい：相似そうじsimilarityで保存ほぞんされる量りょうquantity

前問ぜんもんの正方行列せいほうぎょうれつsquare matrix

について、トレースtrace、行列式ぎょうれつしきdeterminant、固有値こゆうちeigenvalueが一致いっちすることを確認かくにんせよ。

先取さきどり注意ちゅうい：行列式ぎょうれつしきdeterminantと固有値こゆうちeigenvalueは後続こうぞくで本格的ほんかくてきに定義ていぎする。ここでは、2 次じの行列式ぎょうれつしき公式こうしきと上三角行列じょうさんかくぎょうれつの対角成分たいかくせいぶんを使つかう発展確認はってんかくにんとして扱あつかう。

5.1解答かいとう

まずトレースtraceは

である。つぎに行列式ぎょうれつしきdeterminantは

である。さらに、どちらも上三角行列じょうさんかくぎょうれつupper triangular matrixなので、固有値こゆうちeigenvalueは対角成分たいかくせいぶんdiagonal entryから読よめる。

したがって、順序じゅんじょorderを除のぞけば固有値こゆうちeigenvalueは一致いっちする。

この問題もんだいで見みているのは、相似そうじsimilarityが同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapの別表示べつひょうじalternative representationであるという事実じじつである。行列ぎょうれつmatrixの成分せいぶんcomponentは変かわっても、基底きていbasisに依存いぞんしない量りょうquantityは保存ほぞんされる。

6確認問題かくにんもんだい：可逆性かぎゃくせいinvertibilityの確認かくにん

を座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixとして使つかえるか判定はんていせよ。

6.1解答かいとう

基底変換きていへんかんchange of basisで使つかう $P$P は、新あたらしい基底きていbasisベクトルを列れつcolumnに並ならべた行列ぎょうれつmatrixである。したがって、列れつcolumnが線型独立せんけいどくりつlinearly independentでなければならない。

ここでは第2列だいにれつが第1列だいいちれつの 2 倍ばいである。

したがって列れつcolumnは線型従属せんけいじゅうぞくlinearly dependentであり、基底きていbasisにならない。実際じっさい、

である。逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの公式こうしきを使つかうなら $\det P$\det P で割わるため、この場合ばあいは 0 による除算じょざんdivisionになり、$P^{-1}$P^{-1} は存在そんざいしない。

この行列式ぎょうれつしきによる説明せつめいは後続こうぞくへの先取さきどりである。本流ほんりゅうの判定はんていは、第だい 2 列れつが第だい 1 列れつの 2 倍ばいで、2 本ほんの列れつが基底きていbasisを作つくらないという点てんである。

したがって、$P$P は座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつcoordinate-change matrixとして使つかえない。

この問題もんだいは、相似変換そうじへんかんsimilarity transformationや基底変換きていへんかんchange of basisで $P^{-1}$P^{-1} が現あらわれる理由りゆうを確認かくにんするものである。可逆かぎゃくinvertibleでない行列ぎょうれつmatrixは、座標ざひょうcoordinateの付つけ替かえではなく、情報じょうほうinformationを潰つぶす写像しゃぞうmapになる。

7補充問題ほじゅうもんだい：失敗例しっぱいれいと順序じゅんじょの確認かくにん

7.1問題もんだい 6

は $R^2$\mathbb R^2 の基底きていbasisではない。この理由りゆうを、座標変換行列ざひょうへんかんぎょうれつchange-of-coordinates matrixの可逆性かぎゃくせいinvertibilityから説明せつめいせよ。

7.2解答例かいとうれい

$b_1,b_2$b_1,b_2 を列れつcolumnに並ならべると

である。この行列ぎょうれつmatrixは第だい 2 行ぎょうrowが零れいなので可逆かぎゃくinvertibleではない。したがって、座標ざひょうcoordinateからベクトルを一意いちいに復元ふくげんできず、$b_1,b_2$b_1,b_2 は基底きていbasisではない。

この問題もんだいは、基底きていbasisではない組くみを使つかうと座標変換ざひょうへんかんchange of coordinatesが壊こわれることを確認かくにんする。基底変換きていへんかんchange of basisでは、変換行列へんかんぎょうれつが可逆かぎゃくinvertibleであることが前提ぜんていである。

7.3問題もんだい 7

とする。$P^{-1}AP$P^{-1}AP と $PA{P}^{-1}$PAP^{-1} を計算けいさんし、一般いっぱんに順序じゅんじょを入いれ替かえてはいけないことを確認かくにんせよ。

7.4解答例かいとうれい

である。したがって

である。一方いっぽう、

であり、同おなじ行列ぎょうれつmatrixにはならない。

この問題もんだいは、相似変換そうじへんかんsimilarity transformationの順序じゅんじょを確認かくにんするための失敗例しっぱいれいである。$P^{-1}AP$P^{-1}AP と $PA{P}^{-1}$PAP^{-1} は記号きごうが似にているが、基底きていbasisの取とり方かたに対たいする意味いみが逆ぎゃくになる。

問題もんだい 6 は、基底きていbasisでない組くみを使つかうと座標変換ざひょうへんかんchange of coordinatesが壊こわれることを確認かくにんする。$b_1,b_2$b_1,b_2 から作つくる行列ぎょうれつmatrixは平面へいめんを潰つぶし、ベクトルを一意いちいに復元ふくげんできない。問題もんだい 7 は、相似変換そうじへんかんsimilarity transformationの順序じゅんじょを確認かくにんする。$P^{-1}AP$P^{-1}AP と $PA{P}^{-1}$PAP^{-1} は似にているが、反対はんたいの座標規約ざひょうきやくcoordinate conventionを表あらわし、一般いっぱんには異ことなる行列ぎょうれつmatrixを与あたえる。

8関連講義かんれんこうぎ

9まとめ

• 基底変換きていへんかんchange of basisでは、ベクトルvectorそのものではなく座標表示ざひょうひょうじcoordinate representationが変かわる。
• 相似変換そうじへんかんsimilarity transformation $P^{-1}AP$P^{-1}AP は、同おなじ線型写像せんけいしゃぞうlinear mapを別べつの基底きていbasisで表あらわす操作そうさoperationである。
• 定義域ていぎいきdomainと終域しゅういきcodomainの基底きていbasisを別々べつべつに変かえるときは、$Q^{-1}AP$Q^{-1}AP の形かたちになる。
• $P^{-1}$P^{-1} を使つかう場面ばめんでは、$P$P が可逆かぎゃくinvertibleであることを確認かくにんする。