商集合しょうしゅうごうquotient setと自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection

1導入どうにゅう

同値関係どうちかんけいequivalence relationで対象たいしょうobjectを分類ぶんるいしたら、次つぎに考かんがえるべき問といは「分類ぶんるいされた箱はこそのものを元げんelementとして扱あつかえるか」である。この発想はっそうが商集合しょうしゅうごうquotient setである。

商集合しょうしゅうごうquotient setでは、個々ここの元げんelementではなく、同値類どうちるいequivalence classを 1 つの対象たいしょうobjectとして扱あつかう。つまり、細こまかい違ちがいを忘わすれ、同値どうちと見みなすものを同おなじ点てんpointへ潰つぶす。

2用語ようごと定義ていぎ

集合しゅうごうset $$A$$A 上うえの同値関係どうちかんけいequivalence relation $$\sim$$\sim に対たいして、商集合しょうしゅうごうquotient set $$A/\sim$$A/{\sim} を

で定義ていぎする。ここで $$\left[a\right]$$[a] は $$a$$a の同値類どうちるいequivalence classである。

順序上じゅんじょじょうの注意ちゅういとして、写像しゃぞうmapの正式せいしきな講義こうぎは後あとにある。このページでは、$$\pi :A\to A/\sim$$\pi:A\to A/{\sim} を「各かく $$a\in A$$a\in A に $$\left[a\right]$$[a] を割わり当あてる規則きそく」という最小限さいしょうげんの意味いみで使つかう。

自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection $$\pi :A\to A/\sim$$\pi:A\to A/{\sim} を

で定義ていぎする。これは各かく元げんelementを、その元げんelementが属ぞくする同値類どうちるいequivalence classへ送おくる写像しゃぞうmapである。

3方針ほうしん

商集合しょうしゅうごうquotient setを扱あつかうときは、代表元だいひょうげんrepresentativeと同値類どうちるいequivalence classを区別くべつする。$$a$$a は $$A$$A の元げんelementであり、$$\left[a\right]$$[a] は $$A/\sim$$A/{\sim} の元げんelementである。

さらに、商集合しょうしゅうごうquotient set上うえで写像しゃぞうmapを定義ていぎするときは、well-defined 性well-definednessを確認かくにんする。同おなじ同値類どうちるいequivalence classを別べつの代表元だいひょうげんで書かいても、定義ていぎした値あたいvalueが変かわらないことを示しめす必要ひつようがある。

手順てじゅんとして、まず関係かんけいが同値関係どうちかんけいequivalence relationであることを確認かくにんし、次つぎに同値類どうちるいequivalence classを作つくる。自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは、各かく元げんelementをその元げんが属ぞくする同値類どうちるいへ送おくる。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

商集合しょうしゅうごうquotient setは、分類ぶんるいされた箱はこの集合しゅうごうである。自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは、各かく元げんelementを「その入はいっている箱はこ」へ送おくる。

たとえば整数せいすうを 3 で割わった余あまりで分類ぶんるいすると、商集合しょうしゅうごうquotient setは

である。ここで $$\left[1\right]=\left[4\right]=[-2]$$[1]=[4]=[-2] である。代表元だいひょうげんは違ちがっても、表あらわしている同値類どうちるいequivalence classは同おなじである。

同値類どうちるいequivalence classは箱はことして考かんがえるとよい。代表元だいひょうげんを選えらんで計算けいさんしてもよいが、結果けっかが代表元だいひょうげんの選えらび方かたに依存いぞんしないこと、つまりwell-defined 性well-definednessを確認かくにんする必要ひつようがある。

5well-defined 性well-definednessとは何なにか

商集合しょうしゅうごうquotient setでは、1 つの元げんelementが複数ふくすうの代表元だいひょうげんで書かける。$$a\in A$$a\in A から集合しゅうごう $$B$$B の値あたい $$f\left(a\right)$$f(a) を作つくる規則きそくを用もちいて、$$\overline{f}:A/\sim \to B$$\bar f:A/{\sim}\to B を $$\overline{f}\left(\right[a\left]\right)=f\left(a\right)$$\bar f([a])=f(a) と定さだめたいとする。この候補こうほが代表元だいひょうげんによらないためには、$$a\sim b$$a\sim b なら $$f\left(a\right)=f\left(b\right)$$f(a)=f(b) であることを確認かくにんしなければならない。

この確認かくにんをwell-defined 性well-definednessの確認かくにんという。well-defined 性well-definednessが失敗しっぱいすると、同おなじ商集合しょうしゅうごうquotient setの元げんelementに対たいして、代表元だいひょうげんの選えらび方かたによって異ことなる値あたいvalueが出でてしまう。

well-defined 性well-definednessを示しめすには、同値どうちな 2 つの代表元だいひょうげん $$a,b$$a,b を取とり、$$f\left(a\right)=f\left(b\right)$$f(a)=f(b) を証明しょうめいする。代表元だいひょうげんを 1 つだけ計算けいさんするだけでは不十分ふじゅうぶんである。

6例題れいだい：自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection

6.1問題もんだい

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z 上うえで $$a\sim b$$a\sim b を「$$a-b$$a-b が 3 の倍数ばいすうである」と定義ていぎする。このとき自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection $$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/\sim$$\pi:\mathbb Z\to\mathbb Z/{\sim} の $$\pi \left(5\right)$$\pi(5) と $$\pi (-1)$$\pi(-1) を求もとめよ。

6.2解説かいせつ

自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは $$\pi \left(a\right)=\left[a\right]$$\pi(a)=[a] である。したがって

である。$$5\sim 2$$5\sim2 かつ $$5\sim -1$$5\sim -1 なので、これは $$\left[2\right]$$[2] や $$[-1]$$[-1] と同おなじ同値類どうちるいequivalence classである。

また

であり、$$[-1]=\left[2\right]=\left[5\right]$$[-1]=[2]=[5] である。したがって $$\pi \left(5\right)=\pi (-1)$$\pi(5)=\pi(-1) である。この例れいは、自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionが同値どうちな元げんelementを同おなじ同値類どうちるいequivalence classへ潰つぶすことを示しめしている。

7見分みわけ方かたと関連かんれんリンク

• 同値関係どうちかんけいequivalence relationで分類ぶんるいした箱はこを元げんelementとして扱あつかうなら、商集合しょうしゅうごうquotient setを考かんがえる。
• $$a$$a と $$\left[a\right]$$[a] を区別くべつする。前者ぜんしゃは元もとの集合しゅうごうsetの元げんelement、後者こうしゃは商集合しょうしゅうごうquotient setの元げんelementである。
• 商集合しょうしゅうごうquotient set上うえで代表元だいひょうげんを使つかって写像しゃぞうmapを定義ていぎするなら、well-defined 性well-definednessを確認かくにんする。
• 自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは、各かく元げんelementをその同値類どうちるいequivalence classへ送おくる。

8演習えんしゅうリンク