面積分めんせきぶんと流束りゅうそく

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、曲面上きょくめんじょうのスカラー量りょうの総和そうわと、曲面きょくめんを貫つらぬくベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんの総和そうわを区別くべつして定義ていぎする。

2用語ようごと定義ていぎ

流束りゅうそくFlux は、ベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんを積分せきぶんする面積分めんせきぶんであり、曲面きょくめんをどれだけ通過つうかするかを表あらわす。

面積分めんせきぶんSurface integral は、曲面上きょくめんじょうのスカラー量りょうまたはベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんを積分せきぶんする操作そうさである。

3方針ほうしん

曲面きょくめんを $$\mathit{r}(u,v)$$\boldsymbol{r}(u,v) で表示ひょうじし、接せつベクトル $$r_u,r_v$$\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v から法線方向ほうせんほうこうを構成こうせいする。流束りゅうそくでは、ベクトル場ばのうち法線方向ほうせんほうこうの成分せいぶんだけを数かぞえる。

4向むき付づき曲面きょくめん

流束りゅうそくでは、曲面きょくめんの表裏おもてうらを区別くべつする必要ひつようがある。法線方向ほうせんほうこうを反転はんてんすると、流束りゅうそくの符号ふごうも反転はんてんする。閉曲面へいきょくめんでは、通常つうじょうは外向そとむき法線ほうせんを選択せんたくする。

曲面全体きょくめんぜんたいで連続れんぞくな単位法線場たんいほうせんば $$\mathit{n}$$\boldsymbol n を選えらべるとき、その曲面きょくめんを向むき付づけ可能かのうorientableという。連結れんけつな曲面きょくめんでは 2 つの向むきは $$\mathit{n}$$\boldsymbol n と $$-\mathit{n}$$-\boldsymbol n である。向むき付づけ不可能ふかのうな曲面きょくめんでは、曲面全体きょくめんぜんたいに一貫いっかんした流束りゅうそくを定義ていぎできない。領域りょういきの境界きょうかいとして与あたえられた閉曲面へいきょくめんでは、外向そとむきが標準ひょうじゅんの向むきである。

5厳密げんみつな説明せつめい

$$\mathrm{\Omega }\subset R^2$$\Omega\subset\mathbb R^2 を境界きょうかいが区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 の有界ゆうかい Jordan 領域りょういき、$$D=\stackrel{\_}{\mathrm{\Omega }}$$D=\overline\Omega とし、$$\mathit{r}$$\boldsymbol r を $$D$$D の開近傍かいきんぼうで $$C^1$$C^1 とする。$$\mathrm{\Omega }$$\Omega 内ないで $$r_u\times r_v\ne 0$$\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\ne\boldsymbol0 かつ単射たんしゃであるとき、$$S=\mathit{r}\left(D\right)$$S=\boldsymbol r(D) を正則曲面せいそくきょくめんパッチregular surface patchという。境界上きょうかいじょうだけの重複ちょうふくは面積めんせき 0 なので積分値せきぶんちへ影響えいきょうしない。内部ないぶで多重被覆たじゅうひふくするパラメータ表示ひょうじの右辺うへんは、曲面上きょくめんじょうの通常つうじょうの積分せきぶんではなく、重複度ちょうふくどを含ふくむ積分せきぶんを表あらわす。

$$S$$S の近傍きんぼうで定義ていぎされた連続れんぞくスカラー場ば $$g$$g の面積分めんせきぶんを

と定義ていぎする。これは向むきに依存いぞんせず、$$g=1$$g=1 なら曲面きょくめんの面積めんせきになる。

$$S$$S の近傍きんぼうで定義ていぎされた連続れんぞくベクトル場ば $$\mathit{F}$$\boldsymbol F に対たいし、$$r_u\times r_v$$\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v が選えらんだ向むきと一致いっちするとき、流束りゅうそくを

と定義ていぎする。パッチの内部ないぶでは、単位法線たんいほうせんは $$\mathit{n}=(r_u\times r_v)/\parallel r_u\times r_v\parallel$$\boldsymbol n=(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)/\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\| である。向むきを反転はんてんすると流束りゅうそくの符号ふごうも反転はんてんする。

$$r_u\times r_v$$\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v は、接平面せつへいめんに垂直すいちょくな方向ほうこうと微小面積びしょうめんせきを同時どうじに表あらわす。$$\parallel r_u\times r_v\parallel dudv$$\|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v\|\,du\,dv は面積要素めんせきようそであり、向むき付づき流束りゅうそくでは絶対値ぜったいちを取とらずに $$r_u\times r_{v}dudv$$\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v\,du\,dv を使用しようする。

本講義ほんこうぎで扱あつかうコンパクトな区分的正則曲面くぶんてきせいそくきょくめんを 1 個このパッチで正則せいそくかつ 1 対たい 1 に表示ひょうじできない場合ばあいは、有限個ゆうげんこの正則せいそくパッチに分割ぶんかつし、共通部分きょうつうぶぶんを面積めんせき 0 の境界きょうかいに限定げんていして、各かくパッチの積分せきぶんを加算かさんする。流束りゅうそくでは、すべてのパッチの法線ほうせんを選択せんたくした曲面きょくめんの向むきと整合せいごうさせる。この構成こうせいにより、後述こうじゅつする球面きゅうめんおよび閉曲面へいきょくめんの積分せきぶんも定義ていぎされる。

$${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$$\Omega' を境界きょうかいが区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 の別べつの有界ゆうかい Jordan 領域りょういき、$$E=\stackrel{\_}{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}$$E=\overline{\Omega'} とする。$$\mathit{\phi }:E\to D$$\boldsymbol\varphi:E\to D を、$$E$$E と $$D$$D の開近傍間かいきんぼうかんの $$C^1$$C^1 微分同相びぶんどうそうの制限せいげんで $$\mathit{\phi }\left(E\right)=D$$\boldsymbol\varphi(E)=D を満みたすものとし、$$\mathit{\rho }=\mathit{r}\circ \mathit{\phi }$$\boldsymbol\rho=\boldsymbol r\circ\boldsymbol\varphi とする。スカラー面積分めんせきぶんは Jacobian の絶対値ぜったいちにより再さいパラメータ化かで不変ふへんである。流束りゅうそくは $$\det D\mathit{\phi }>0$$\det D\boldsymbol\varphi>0 なら向むきを保たもって不変ふへんである。$$\det D\mathit{\phi }<0$$\det D\boldsymbol\varphi<0 のとき、外積がいせきをそのまま使用しようすると反対向はんたいむきの曲面きょくめんを表あらわすため、流束りゅうそくの符号ふごうが反転はんてんする。選択済せんたくずみの幾何学的きかがくてきな向むきを維持いじする場合ばあいは、外積がいせきの符号ふごうを補正ほせいする。

6具体計算ぐたいけいさん

上向うわむきの平面へいめん $$z=0$$z=0、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}1,0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}y\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}1$$0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1 を考かんがえる。$$\mathit{F}=(0,0,z+1)$$\boldsymbol{F}=(0,0,z+1) なら、法線ほうせんは $$(0,0,1)$$(0,0,1) であり、流束りゅうそくは

である。下向したむきの法線ほうせんを選択せんたくすると値あたいは $$-1$$-1 になる。

7球面きゅうめんの例れい

$$\mathit{F}=(x,y,z)$$\boldsymbol{F}=(x,y,z) とし、原点げんてんを中心ちゅうしんとする半径はんけい $$R>0$$R>0 の球面きゅうめんを外向そとむきに向むき付づける。球面きゅうめんでは $$\mathit{F}·\mathit{n}=R$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=R であり、面積めんせきが $$4\pi R^2$$4\pi R^2 なので、流束りゅうそくは $$4\pi R^3$$4\pi R^3 になる。後続講義こうぞくこうぎでは Gauss 定理ていりを使つかい、発散はっさんが 3、体積たいせきが $$4\pi R^3/3$$4\pi R^3/3 であることから同おなじ値あたいを確認かくにんする。

8円柱えんちゅうの例れい

半径はんけい $$R$$R、高たかさ $$H$$H の円柱側面えんちゅうそくめんを

で表示ひょうじする。これは上下面じょうかめんを含ふくまない側面そくめんだけの表示ひょうじで、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\theta \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$$0\le\theta\le 2\pi、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}z\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}H$$0\le z\le H である。$$\theta =0$$\theta=0 と $$\theta =2\pi$$\theta=2\pi は同一どういつの継つぎ目めを表あらわすが、パラメータ領域りょういきの境界きょうかいでの重複ちょうふくなので面積分めんせきぶんの値あたいに影響えいきょうしない。外向そとむきの向むき付づき面要素めんようそは

である。$$\mathit{F}=(x,y,0)$$\boldsymbol{F}=(x,y,0) なら、流束りゅうそくは

である。

9比較例ひかくれい: 面めんに平行へいこうな場ば

$$z=0$$z=0 の上向うわむき平面片へいめんへんに対たいし、$$\mathit{F}=(1,0,0)$$\boldsymbol{F}=(1,0,0) は面めんに平行へいこうである。したがって $$\mathit{F}·\mathit{n}=0$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=0 であり、流束りゅうそくは 0 になる。矢印やじるしが曲面上きょくめんじょうに存在そんざいしても、法線成分ほうせんせいぶんがなければ貫通量かんつうりょうは発生はっせいしない。

10Gauss 定理ていりへの橋渡はしわたし

有界領域ゆうかいりょういき $$V$$V が区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 境界きょうかいを持もち、$$\mathit{F}$$\boldsymbol F が $$\stackrel{\_}{V}$$\overline V の近傍きんぼうで $$C^1$$C^1 であるとする。外向そとむきに向むき付づけた閉曲面へいきょくめん $$\mathit{\partial }V$$\partial V を通過つうかする総流束そうりゅうそくは、$$V$$V 内部ないぶの発散はっさんの体積積分たいせきせきぶんと一致いっちする。この事実じじつが Gauss の発散定理はっさんていりである。閉曲面へいきょくめん $$\mathit{\partial }V$$\partial V は体積領域たいせきりょういきの境界きょうかいであり、次つぎのページで境界上きょうかいじょうの流束りゅうそくと内部ないぶの局所量きょくしょりょうである発散はっさんを接続せつぞくする。特異点とくいてんを $$V$$V 内ないに含ふくむ場ばには、この条件じょうけんのままでは適用てきようできない。

11よくある誤あやまり

• 法線方向ほうせんほうこうを指定していせずに流束りゅうそくを計算けいさんする。
• 面積要素めんせきようそ $$\parallel r_u\times r_v\parallel$$\|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v\| と向むき付づき面要素めんようそ $$r_u\times r_v$$\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v を混同こんどうする。
• 曲面きょくめんの境界きょうかいを確認かくにんせず、Stokes 定理ていりの向むきを誤あやまる。

12関連かんれんリンク