半群はんぐんsemigroup・モノイドmonoid・群ぐんgroupへの入口いりぐち

群ぐんの定義ていぎを、閉包性へいほうせいを含ふくむ二項演算にこうえんざんであることから逆元ぎゃくげんまでの条件じょうけんとしていきなり覚おぼえると、何故なぜその条件じょうけんが必要ひつようなのかが見みえにくい。そこで、二項演算にこうえんざんに条件じょうけんを一ひとつずつ足たしていく。

という流ながれで見みると、群ぐんは「演算えんざんを繰くり返かえせて、何なにもしない操作そうさがあり、さらに戻もどせる構造こうぞう」であることが分わかる。

Entrance to semigroups半群はんぐん, monoidsモノイド, and groups群ぐん

If the definition of a group is memorized all at once, from having a binary operation (which includes closure) through having inverses, it is hard to see why those conditions are needed. Instead, add conditions one by one to a binary operation二項演算にこうえんざん.

Viewed in this order順序じゅんじょ, a group群ぐん is a structure in which operations can be repeated, there is an operation that does nothing, and operations can be undone.

1半群はんぐん

半群はんぐんsemigroupとは、集合しゅうごう $$S$$S と、任意にんいの $$a,b,c\in S$$a,b,c\in S に対たいして結合法則けつごうほうそくを満みたす二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast の組くみである。

半群はんぐんでは、単位元たんいげんや逆元ぎゃくげんは要求ようきゅうしない。可換性かかんせいも要求ようきゅうしないので、$$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$a\ast b と $$b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a$$b\ast a は一般いっぱんには異ことなる。

結合法則けつごうほうそくがあるため、長ながい積せき

の括弧かっこを省略しょうりゃくできる。これは、元げんの順序じゅんじょを変かえずに括弧かっこだけをどのように付つけても同おなじ値あたいになる、という意味いみである。3 個この場合ばあいが結合法則けつごうほうそくそのものである。一般いっぱんの個数こすうについては帰納法きのうほうを使つかう。どの括弧付かっこづけも、ある $$k$$k によって「最初さいしょの $$k$$k 個この積せき」と「残のこりの積せき」の積せきに分わかれる。各部分かくぶぶんを帰納法きのうほうで左ひだりからまとめ、結合法則けつごうほうそくを繰くり返かえせば、全体ぜんたいも左ひだりからまとめた同おなじ形かたちへ直なおせる。

1Semigroups

A semigroup半群はんぐん is a pair consisting of a set $$S$$S and a binary operation $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast satisfying the associative law for every $$a,b,c\in S$$a,b,c\in S.

A semigroup does not require an identity element単位元たんいげん or inverse elements. It does not require commutativity either, so $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$a\ast b and $$b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a$$b\ast a may differ.

Because associativity holds, parentheses can be omitted in a long product such as

This means that every placement of parentheses, with the order of the elements unchanged, gives the same value. The case of three elements is exactly the associative law. For the general case, use induction on the number of elements. Any parenthesization splits at some $$k$$k into a product of the first $$k$$k elements and the remaining elements. Inductively put each part into left-associated form, then repeatedly use associativity to obtain the same left-associated form for the whole product.

2モノイド

モノイドmonoidとは、単位元たんいげんを持もつ半群はんぐんである。つまり、ある元げん $$e$$e が存在そんざいして、任意にんいの $$a$$a について

が成立せいりつする。

ここでは $$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$$\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\} とする。すると自然数全体しぜんすうぜんたい $$\mathbb{N}$$\mathbb N は、足たし算ざんについて 0 を単位元たんいげんとするモノイドである。ただし自然数しぜんすうの範囲はんいでは、全すべての元げんに加法逆元かほうぎゃくげんがあるわけではないので群ぐんではない。

2Monoids

A monoidモノイド is a semigroup with an identity element単位元たんいげん. That is, there exists an element $$e$$e such that for every $$a$$a,

Here we use $$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$$\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}. The natural numbers $$\mathbb{N}$$\mathbb N then form a monoid under addition with identity element 0. However, within the natural numbers, not every element has an additive inverse, so this is not a group.

3群ぐん

群ぐんgroupとは、全すべての元げんが逆元ぎゃくげんを持もつモノイドである。任意にんいの $$a$$a に対たいして、ある $$a^{-1}$$a^{-1} が存在そんざいして

となる。

群ぐんでは、演算えんざんによって進すすんだ操作そうさを逆元ぎゃくげんで戻もどせる。この「戻もどせる」性質せいしつが、群ぐんを対称性たいしょうせいや変換へんかんの数学すうがくにしている。

前まえの講義こうぎで示しめしたように、結合法則けつごうほうそくのもとでは単位元たんいげんと各元かくげんの逆元ぎゃくげんはそれぞれ一意いちいである。したがって $$a^{-1}$$a^{-1} という記号きごうは一ひとつの元げんを表あらわす。

3Groups

A group群ぐん is a monoid in which every element has an inverse. For every $$a$$a, there exists an element $$a^{-1}$$a^{-1} such that

In a group, an operation that moves forward can be undone by an inverse. This property of being able to return is what makes groups the mathematics of symmetries and transformations.

As proved in the preceding lecture, under associativity the identity element and the inverse of each element are unique whenever they exist. Thus the notation $$a^{-1}$$a^{-1} denotes one determined element.

4群ぐんでできる約分やくぶん

群ぐん $$G$$G では、任意にんいの $$a,b,c\in G$$a,b,c\in G について

が成立せいりつする。これを左約分律ひだりやくぶんりつという。実際じっさい、等式とうしきの両辺りょうへんの左ひだりから $$a^{-1}$$a^{-1} を演算えんざんすると、

であり、結合法則けつごうほうそくと逆元ぎゃくげん・単位元たんいげんの条件じょうけんから $$b=c$$b=c を得える。右みぎから逆元ぎゃくげんを演算えんざんすれば、$$b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=c\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a\Rightarrow b=c$$b\ast a=c\ast a\Rightarrow b=c という右約分律みぎやくぶんりつも得えられる。

4Cancellation in a group

In a group $$G$$G, for all $$a,b,c\in G$$a,b,c\in G,

This is the left cancellation law. Indeed, operating on the left of both sides by $$a^{-1}$$a^{-1} gives

and associativity together with the inverse and identity laws yields $$b=c$$b=c. Operating on the right by an inverse similarly gives the right cancellation law, $$b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=c\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a\Rightarrow b=c$$b\ast a=c\ast a\Rightarrow b=c.

5具体例ぐたいれい：自然数しぜんすう、整数せいすう、有理数ゆうりすう

足たし算ざんで見みると、

はモノイドである。0 は単位元たんいげんだが、たとえば 3 を足たして 0 に戻もどす自然数しぜんすうは存在そんざいしない。

は群ぐんである。整数せいすう $$a$$a の逆元ぎゃくげんは $$-a$$-a である。

掛かけ算ざんで見みると、

は群ぐんである。0 を除のぞく理由りゆうは、0 には乗法逆元じょうほうぎゃくげんが存在そんざいしないからである。

5Concrete examples: natural numbers, integers, and rational numbers

With addition,

is a monoid. The identity element単位元たんいげん is 0, but there is no natural number that brings 3 back to 0 by addition.

is a group群ぐん. The inverse of an integer $$a$$a is $$-a$$-a.

With multiplication,

is a group群ぐん. The reason for excluding 0 is that 0 has no multiplicative inverse.

6非可換ひかかんな例れい：全単射ぜんたんしゃの合成ごうせい

集合しゅうごう $$X$$X から $$X$$X への写像しゃぞう $$f$$f が全単射ぜんたんしゃであるとは、各かく $$y\in X$$y\in X に対たいして $$f\left(x\right)=y$$f(x)=y となる $$x\in X$$x\in X がちょうど 1 個こあることをいう。この対応たいおうを逆向ぎゃくむきにたどる写像しゃぞうを逆写像ぎゃくしゃぞう $$f^{-1}$$f^{-1} とよぶ。全単射ぜんたんしゃ全体ぜんたいを $$\mathrm{Sym}\left(X\right)$$\operatorname{Sym}(X) とする。

2 個この写像しゃぞうを続つづけて使つかう合成ごうせいを $$(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$$(f\circ g)(x)=f(g(x)) で定義ていぎする。全単射ぜんたんしゃどうしの合成ごうせいは全単射ぜんたんしゃなので閉包性へいほうせいがある。また、任意にんいの $$x\in X$$x\in X について

なので合成ごうせいは結合法則けつごうほうそくを満みたす。恒等写像こうとうしゃぞう $${\mathrm{id}}_X\left(x\right)=x$$\operatorname{id}_X(x)=x が単位元たんいげんであり、各全単射かくぜんたんしゃ $$f$$f の逆写像ぎゃくしゃぞう $$f^{-1}$$f^{-1} が逆元ぎゃくげんである。したがって

は群ぐんである。

$$X=\{1,2,3\}$$X=\{1,2,3\} とし、$$f$$f は 1 と 2 を入いれ替かえ、$$g$$g は 2 と 3 を入いれ替かえる全単射ぜんたんしゃとする。このとき $$(f\circ g)\left(1\right)=2$$(f\circ g)(1)=2 だが $$(g\circ f)\left(1\right)=3$$(g\circ f)(1)=3 なので、$$f\circ g\ne g\circ f$$f\circ g\ne g\circ f である。つまり群ぐんの定義ていぎに可換性かかんせいは含ふくまれない。

6A noncommutative example: composition of bijections

A map $$f:X\to X$$f:X\to X is a bijection if, for every $$y\in X$$y\in X, there is exactly one $$x\in X$$x\in X such that $$f\left(x\right)=y$$f(x)=y. Reversing this correspondence defines the inverse map $$f^{-1}$$f^{-1}. Let $$\mathrm{Sym}\left(X\right)$$\operatorname{Sym}(X) be the set of all such bijections.

Define composition, the operation of applying two maps in succession, by $$(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$$(f\circ g)(x)=f(g(x)). A composition of bijections is again a bijection, so closure holds. Moreover, for every $$x\in X$$x\in X,

so composition is associative. The identity map $${\mathrm{id}}_X\left(x\right)=x$$\operatorname{id}_X(x)=x is the identity element, and the inverse map $$f^{-1}$$f^{-1} is the inverse of each bijection $$f$$f. Therefore

is a group.

Let $$X=\{1,2,3\}$$X=\{1,2,3\}, let $$f$$f interchange 1 and 2, and let $$g$$g interchange 2 and 3. Then $$(f\circ g)\left(1\right)=2$$(f\circ g)(1)=2, whereas $$(g\circ f)\left(1\right)=3$$(g\circ f)(1)=3. Thus $$f\circ g\ne g\circ f$$f\circ g\ne g\circ f: commutativity is not part of the definition of a group.

7何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

半群はんぐんからモノイドへ進すすむと、「何なにもしない操作そうさ」が使つかえるようになる。モノイドから群ぐんへ進すすむと、「戻もどす操作そうさ」が使つかえるようになる。一方いっぽうで、いずれも演算えんざんが同おなじ集合しゅうごうの中なかで閉とじていることと、結合法則けつごうほうそくは保存ほぞんされる。

7What changes and what is preserved

Moving from semigroups to monoids makes the "do nothing" operation available. Moving from monoids to groups makes the "undo" operation available. In all cases, closure閉包性へいほうせい of the operation inside the same set and the associative law結合法則けつごうほうそく are preserved.

8反例はんれい補足ほそく：半群はんぐん・モノイド・群ぐんの階層かいそうは真しんに異ことなる

半群はんぐん、モノイド、群ぐんは条件じょうけんを一ひとつずつ足たしていく階層かいそうである。ただし、上うえの概念がいねんが下したの概念がいねんと同おなじになるわけではない。

$$(Z_{>0},+)$$(\mathbb Z_{>0},+) は結合法則けつごうほうそくを満みたすので半群はんぐんsemigroupである。しかし単位元たんいげん 0 が $$Z_{>0}$$\mathbb Z_{>0} に入はいっていないのでモノイドではない。

$$(Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0},+)$$(\mathbb Z_{\ge0},+) は 0 を単位元たんいげんに持もつのでモノイドmonoidである。しかし 1 の加法逆元かほうぎゃくげん $$-1$$-1 が $$Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}$$\mathbb Z_{\ge0} に入はいっていないので群ぐんではない。

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) は 0 とすべての加法逆元かほうぎゃくげんを持もつので群ぐんである。このように、各段階かくだんかいで新あたらしく要求ようきゅうした条件じょうけんが本当ほんとうに効きいている。

8Counterexample supplement: the hierarchy of semigroups半群はんぐん, monoidsモノイド, and groups群ぐん is strict

Semigroups, monoids, and groups form a hierarchy obtained by adding conditions one at a time. However, the stronger notions do not collapse to the weaker ones.

$$(Z_{>0},+)$$(\mathbb Z_{>0},+) is a semigroup半群はんぐん because addition is associative. It is not a monoidモノイド, because the identity element 0 is not in $$Z_{>0}$$\mathbb Z_{>0}.

$$(Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0},+)$$(\mathbb Z_{\ge0},+) is a monoidモノイド because it has 0 as its identity element単位元たんいげん. It is not a group群ぐん, because the additive inverse $$-1$$-1 of 1 is not in $$Z_{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}$$\mathbb Z_{\ge0}.

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) is a group群ぐん because it has 0 and all additive inverses. Thus each newly required condition has real content.

9演習えんしゅうリンク

問題もんだい2・3・4を続つづけて解とくと、一ひとつの演算えんざんが群ぐんになるまでの条件じょうけんを確認かくにんできる。

9Exercise link

Solve Problems 2, 3, and 4 in sequence to check every condition that makes one operation a group.

10次つぎの講義こうぎへの橋渡はしわたし

この後あとは、まず同値関係どうちかんけいと合同式ごうどうしきを使つかって「余あまりが同おなじ整数せいすう」を一ひとつの元げんとしてまとめる。その具体例ぐたいれいを持もって群ぐんの基本きほんへ戻もどり、$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+) を群ぐんとして詳くわしく調しらべる。

10Bridge to the next lectures

The next two lectures use equivalence relations and congruences to collect integers with the same remainder into single elements. With that concrete example in hand, the sequence returns to group foundations and studies $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+) as a group.

11まとめ

半群はんぐんは集合しゅうごうと結合法則けつごうほうそくを持もつ二項演算にこうえんざんの組くみ、モノイドは単位元たんいげんを持もつ半群はんぐん、群ぐんは全すべての元げんに逆元ぎゃくげんがあるモノイドである。この階段かいだんを理解りかいすると、群ぐんの各条件かくじょうけんがどの役割やくわりを担になうかが見みえる。

11Summary

A semigroup半群はんぐん is a set equipped with an associative binary operation, a monoidモノイド is a semigroup with an identity element単位元たんいげん, and a group群ぐん is a monoid in which every element has an inverse. Understanding this staircase reveals the role played by each group axiom.