代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureと二項演算にこうえんざんbinary operation 基本きほん演習えんしゅう

algebraic structures代数的構造だいすうてきこうぞう and binary operations二項演算にこうえんざん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

問題もんだい1〜3は二項演算にこうえんざんの講義こうぎの後あとに解とける。問題もんだい4は半群はんぐん・モノイド・群ぐんの講義こうぎの後あとに取とり組くむ。

1Corresponding lectures

Problems 1–3 can be attempted after the lecture on binary operations. Attempt Problem 4 after the lecture on semigroups, monoids, and groups.

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3問題もんだい1：二項演算にこうえんざんbinary operationか判定はんていする

$$\mathbb{N}$$\mathbb N 上じょうの引ひき算ざんsubtractionは二項演算にこうえんざんbinary operationか。理由りゆうも述のべよ。

3Problem 1: decide whether an operation is binary

Is subtraction[引き算] on $$\mathbb{N}$$\mathbb N a binary operation二項演算にこうえんざん? Give a reason.

3.1解答かいとう

二項演算にこうえんざんbinary operationではない。たとえば

であり、$$-3\notin \mathbb{N}$$-3\notin\mathbb N だからである。

3.1Answer

It is not a binary operation二項演算にこうえんざん. For example,

and $$-3\notin \mathbb{N}$$-3\notin\mathbb N.

3.2解説かいせつ

二項演算にこうえんざんbinary operation $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:S\times S\to S$$\ast:S\times S\to S では、任意にんいの二ふたつの元げんelementから得えられる結果けっかが同おなじ集合しゅうごうset $$S$$S に戻もどる必要ひつようがある。ここでは閉包性へいほうせいclosureが壊こわれている。

3.2Explanation

For a binary operation二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:S\times S\to S$$\ast:S\times S\to S, the result obtained from any two elements must return to the same set $$S$$S. Here closure閉包性へいほうせい fails.

4問題もんだい2：単位元たんいげんidentity elementを求もとめる

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z 上じょうの演算えんざんoperation $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=a+b-3$$a\ast b=a+b-3 を考かんがえる。単位元たんいげんidentity elementを求もとめよ。

4Problem 2: find an identity element単位元たんいげん

On $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, consider the operation $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=a+b-3$$a\ast b=a+b-3. Find the identity element単位元たんいげん.

4.1解答かいとう

単位元たんいげんidentity elementを $$e$$e とすると、任意にんいの $$a$$a について

である。したがって

より $$e=3$$e=3 である。同どう様ように $$e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=a$$e\ast a=a も成立せいりつするので、単位元たんいげんidentity elementは 3 である。

4.1Answer

Let the identity element単位元たんいげん be $$e$$e. For every $$a$$a, we need

Therefore

so $$e=3$$e=3. Similarly, $$e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=a$$e\ast a=a also holds, so the identity element単位元たんいげん is 3.

4.2解説かいせつ

単位元たんいげんidentity elementは「何なにもしない元げんelement」である。通常つうじょうの足たし算ざんadditionの 0 とは限かぎらない。演算えんざんoperationが変かわると単位元たんいげんidentity elementも変かわる。

4.2Explanation

An identity element単位元たんいげん is an element that does nothing with respect to the operation. It is not necessarily 0 from ordinary addition. When the operation changes, the identity element単位元たんいげん can also change.

5問題もんだい3：逆元ぎゃくげんinverse elementを求もとめる

問題もんだい2の演算えんざんoperationで、元げんelement $$a$$a の逆元ぎゃくげんinverse elementを求もとめよ。

5Problem 3: find an inverse

For the operation in Problem 2, find the inverse element逆元ぎゃくげん of an element $$a$$a.

5.1解答かいとう

逆元ぎゃくげんinverse elementを $$b$$b とすると、単位元たんいげんidentity elementが 3 なので

である。つまり

だから

である。この演算えんざんは $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a$$a\ast b=b\ast a を満みたすので、反対はんたいの順序じゅんじょでも $$b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=3$$b\ast a=3 となる。

5.1Answer

Let the inverse be $$b$$b. Since the identity element単位元たんいげん is 3, we need

That is,

so

Since this operation satisfies $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a$$a\ast b=b\ast a, the opposite order also gives $$b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=3$$b\ast a=3.

5.2解説かいせつ

逆元ぎゃくげんは単位元たんいげんに相対そうたいして定さだまり、左右さゆうのどちらから演算えんざんしても単位元たんいげんになる必要ひつようがある。ここでは単位元たんいげんが 3 であり、可換性かかんせいによって一方いっぽうの計算けいさんから両方りょうほうを確認かくにんできる。

5.2Explanation

An inverse is defined relative to the identity element and must work on both sides. Here the identity is 3, and commutativity lets one calculation verify both orders.

6問題もんだい4：半群はんぐん・モノイド・群ぐんのどれか

問題もんだい2・3の演算えんざん $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=a+b-3$$a\ast b=a+b-3 について、閉包性へいほうせいと結合法則けつごうほうそくを確認かくにんし、$$(\mathbb{Z},\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(\mathbb Z,\ast) が半群はんぐん、モノイド、群ぐんのどこまでの条件じょうけんを満みたすか答こたえよ。

6Problem 4: semigroup, monoid, or group?

For the operation $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=a+b-3$$a\ast b=a+b-3 from Problems 2 and 3, check closure and associativity, and determine which of the conditions for a semigroup, a monoid, and a group are satisfied by $$(\mathbb{Z},\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(\mathbb Z,\ast).

6.1解答かいとう

任意にんいの $$a,b\in \mathbb{Z}$$a,b\in\mathbb Z について $$a+b-3\in \mathbb{Z}$$a+b-3\in\mathbb Z なので閉包性へいほうせいがある。また、任意にんいの $$a,b,c\in \mathbb{Z}$$a,b,c\in\mathbb Z について

なので結合法則けつごうほうそくを満みたし、$$(\mathbb{Z},\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(\mathbb Z,\ast) は半群はんぐんである。問題もんだい2より単位元たんいげんは 3 なのでモノイドでもある。問題もんだい3より各元かくげん $$a$$a の逆元ぎゃくげんは $$6-a\in \mathbb{Z}$$6-a\in\mathbb Z なので、すべての元げんが逆元ぎゃくげんを持もつ。したがって $$(\mathbb{Z},\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(\mathbb Z,\ast) は群ぐんである。

6.1Answer

For all $$a,b\in \mathbb{Z}$$a,b\in\mathbb Z, we have $$a+b-3\in \mathbb{Z}$$a+b-3\in\mathbb Z, so closure holds. For all $$a,b,c\in \mathbb{Z}$$a,b,c\in\mathbb Z,

Thus the operation is associative and $$(\mathbb{Z},\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(\mathbb Z,\ast) is a semigroup. By Problem 2 its identity is 3, so it is a monoid. By Problem 3, every $$a$$a has the inverse $$6-a\in \mathbb{Z}$$6-a\in\mathbb Z. Therefore $$(\mathbb{Z},\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(\mathbb Z,\ast) is a group.

6.2解説かいせつ

単位元たんいげんや逆元ぎゃくげんを計算けいさんするだけでは、まだ群ぐんとは判定はんていできない。まず規則きそくが集合しゅうごう上じょうの二項演算にこうえんざんであり、結合法則けつごうほうそくを満みたすことも別べつに確認かくにんする必要ひつようがある。

6.2Explanation

Computing an identity and inverses alone does not yet prove that an operation forms a group. One must separately verify that the rule is a binary operation on the set and that it is associative.