代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureとは何なにか

抽象代数ちゅうしょうだいすうで最初さいしょに固定こていしたい見方みかたは、対象たいしょうを「集合しゅうごうsetと演算えんざんoperationの組くみ」として見みることである。数かずの集合しゅうごうsetだけを見みても、まだ代数だいすうは始はじまらない。その集合しゅうごうsetの中なかで、どの演算えんざんoperationを行おこない、その演算えんざんoperationがどの法則ほうそくを満みたすかを指定していして初はじめて、代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureになる。

たとえば整数全体せいすうぜんたい $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は、足たし算ざんと一緒いっしょに見みると群ぐんgroupになる。しかし掛かけ算ざんと一緒いっしょに見みると、たとえば $$2b=1$$2b=1 を満みたす候補こうほは $$b=1/2$$b=1/2 だが整数せいすうではないので、群ぐんgroupにはならない。同おなじ集合しゅうごうsetでも、演算えんざんoperationを変かえると構造こうぞうが変かわる。

ここでの群ぐんgroupと逆元ぎゃくげんinverse elementは、あとで正式せいしきに定義ていぎする用語ようごである。この段階だんかいでは、「集合しゅうごうだけでなく演算えんざんも指定していしないと構造こうぞうは決きまらない」という点てんだけを使つかう。

What is an algebraic structure代数的構造だいすうてきこうぞう?

The first viewpoint to fix in abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう is to regard an object as a pair consisting of a set集合しゅうごう and operations演算えんざん. Algebra does not begin from a set of numbers alone. Only after specifying which operations are performed inside that set and which laws those operations satisfy do we obtain an algebraic structure代数的構造だいすうてきこうぞう.

For example, the set of all integers $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z becomes a group群ぐん when viewed with addition. But with multiplication it is not a group: for example, the only candidate satisfying $$2b=1$$2b=1 is $$b=1/2$$b=1/2, which is not an integer. Even with the same underlying set, changing the operation changes the structure.

The terms group群ぐん and inverse element逆元ぎゃくげん will be defined formally later. At this point, we use only the idea that a structure is not determined by a set alone; the operation must also be specified.

1定義ていぎの形かたち

代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureは、典型的てんけいてきには

または

の形かたちで書かく。ここで $$S$$S は集合しゅうごうsetであり、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast、$$+$$+、$$·$$\cdot は演算えんざんoperationである。

この表記ひょうきは、「元げんelementが何なにか」と「元げんelementどうしをどう操作そうさするか」を分わけている。集合しゅうごうsetだけでは要素ようその一覧いちらんであり、演算えんざんoperationだけではどこで計算けいさんするかが分わからない。両方りょうほうを指定していして初はじめて、計算けいさんの世界せかいが定さだまる。

1The form of a definition定義ていぎ

An algebraic structure代数的構造だいすうてきこうぞう is typically written in a form such as

or

Here $$S$$S is a set集合しゅうごう, and $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast, $$+$$+, and $$·$$\cdot are operations.

This notation separates "what the elements are" from "how the elements are operated on." A set alone is only a list or collection of elements, and an operation alone does not say where the calculation takes place. Only when both are specified is the world of calculation determined.

2何故なぜ公理こうりで定義ていぎするのか

公理こうりは、具体例ぐたいれいの細部さいぶを忘わすれ、議論ぎろんに必要ひつような性質せいしつだけを残のこすための条件じょうけんである。

整数せいすうの足たし算ざん、平面へいめんの回転かいてん、正方形せいほうけいの対称性たいしょうせいは見みた目めがまったく違ちがう。しかし、どれも「合成ごうせいできる」「何なにもしない操作そうさがある」「元げんelementへ戻もどす操作そうさがある」という共通点きょうつうてんを持もつ。この共通点きょうつうてんだけを取とり出だすと、群ぐんgroupの公理こうりになる。

2Why define by axioms?

Axioms公理こうり are conditions that let us forget the details of concrete examples and keep only the properties needed for an argument.

Addition of integers, rotations of the plane, and symmetries of a square look completely different. However, they share common features: operations can be composed, there is an operation that does nothing, and there are operations that return an element to where it was. Extracting just these common features gives the axioms of a group群ぐん.

3何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

抽象化ちゅうしょうかでは、具体的ぐたいてきな表示ひょうじは変かわる。整数せいすう、行列ぎょうれつ、置換ちかん、剰余類じょうよるいは見みた目めが異ことなる。一方いっぽうで、演算えんざんoperationの満みたす法則ほうそくは保存ほぞんして見みる。

たとえば、同型どうけいな二ふたつの群ぐんgroupは、元げんelementの名前なまえは違ちがっても、演算表えんざんひょうの構造こうぞうは同おなじである。つまり、どの元げんelementを組くみ合あわせるとどの元げんelementになるかという情報じょうほうが保存ほぞんされる。同型どうけいは後あとで準同型じゅんどうけいと一緒いっしょに定義ていぎするので、ここでは「名前なまえが変かわっても演算えんざんの対応たいおうが残のこる」という見通みとおしとして読よめばよい。

3What changes and what is preserved

In abstraction, the concrete presentation changes. Integers, matrices, permutations, and residue classes look different. On the other hand, we preserve and study the laws satisfied by the operations.

For example, two isomorphic groups may have elements with different names, but the structure of their operation tables is the same. In other words, the information about which element is obtained by combining which elements is preserved. Isomorphism will be defined later together with homomorphisms, so here it should be read only as the preview that operation structure can remain the same even when names change.

4具体例ぐたいれい：同おなじ集合しゅうごうsetでも構造こうぞうは変かわる

集合しゅうごうset $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z を考かんがえる。

は群ぐんgroupである。0 が単位元たんいげんidentity elementであり、整数せいすう $$a$$a の逆元ぎゃくげんinverse elementは $$-a$$-a である。

しかし

は群ぐんgroupではない。たとえば 2 の乗法逆元じょうほうぎゃくげんは整数せいすうの中なかに存在そんざいしない。もし $$2b=1$$2b=1 となる整数せいすう $$b$$b があれば、左辺さへんは偶数ぐうすうなので 1 にはならない。

ここで大切たいせつなのは、集合しゅうごうsetだけを見みて「群ぐんgroupかどうか」を言いえない点てんである。必かならず演算えんざんoperationと組くみにして判断はんだんする。

4Concrete example: the same set can have different structures

Consider the set $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z.

is a group群ぐん. The identity element単位元たんいげん is 0, and the inverse of an integer $$a$$a is $$-a$$-a.

However,

is not a group. For example, the multiplicative inverse of 2 does not exist among the integers. If there were an integer $$b$$b with $$2b=1$$2b=1, the left-hand side would be even, so it could not equal 1.

The important point is that we cannot decide whether something is a group by looking only at the set. We must always judge it together with its operation.

5他分野たぶんやとの接続せつぞく

抽象代数ちゅうしょうだいすうは線型代数せんけいだいすうにも現あらわれる。たとえば可逆行列かぎゃくぎょうれつ全体ぜんたいは、行列積ぎょうれつせきによって群ぐんgroupをなす。

この節せつは接続せつぞくの見通みとおしであり、行列ぎょうれつの知識ちしきを以後いごの定義ていぎや証明しょうめいの前提ぜんていにはしない。

整数せいすう論ろんでは、剰余類じょうよるいの足たし算ざんや掛かけ算ざんが抽象代数ちゅうしょうだいすうの基本きほん例れいになる。

5Connections with other areas

abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう also appears in linear algebra. For example, the set of all invertible matrices forms a group群ぐん under matrix multiplication.

This section is only a preview of connections; matrix knowledge is not used as a prerequisite for later definitions or proofs here.

In number theory, addition and multiplication of residue classes become basic examples in abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう.

6演習えんしゅうリンク

この講義こうぎの後あとは、二項演算にこうえんざんと閉包性へいほうせい、半群はんぐん・モノイド・群ぐんの順じゅんに進すすむ。

6Exercise link

After this lecture, continue to binary operations and closure, then to semigroups, monoids, and groups.

7まとめ

代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureとは、集合しゅうごうsetと演算えんざんoperationを組くみにして、公理こうりで必要ひつような性質せいしつを指定していしたものである。同おなじ集合しゅうごうsetでも演算えんざんoperationが変かわれば構造こうぞうは変かわる。抽象代数ちゅうしょうだいすうでは、見みた目めではなく、演算えんざんoperationで保存ほぞんされる構造こうぞうを見みる。

7Summary

An algebraic structure代数的構造だいすうてきこうぞう is a set equipped with operations, with required properties specified by axioms. Even if the underlying set is the same, changing the operation changes the structure. In abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう, we focus not on appearance but on the structure preserved by operations.