群ぐんgroupの基本きほん

群ぐんは、操作そうさを合成ごうせいし、必要ひつようなら元げんに戻もどせる構造こうぞうである。整数せいすうの足たし算ざん、剰余類じょうよるいの足たし算ざん、図形ずけいの回転かいてん、可逆行列かぎゃくぎょうれつの積せきは見みた目めが違ちがう。しかし、どれも閉包性へいほうせいを含ふくむ二項演算にこうえんざんと、結合法則けつごうほうそく・単位元たんいげん・逆元ぎゃくげんを持もつ。

Basics of groups群ぐん

A group群ぐん is a structure in which operations can be composed and, when necessary, undone. Addition of integers, addition of residue classes, rotations of figures, and products of invertible matrices look different. However, each has a binary operation, which includes closure, together with associativity, an identity, and inverses.

1群ぐんの定義ていぎ

集合しゅうごう $$G$$G と二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:G\times G\to G$$\ast:G\times G\to G の組くみ $$(G,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(G,\ast) が群ぐんであるとは、次つぎを満みたすことである。$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast が二項演算にこうえんざんであることに閉包性へいほうせいはすでに含ふくまれる。

この $$e$$e に対たいして、

最初さいしょの等式とうしきは任意にんいの $$a,b,c\in G$$a,b,c\in G に対たいする結合法則けつごうほうそく、続つづく二ふたつは単位元たんいげんと、その同おなじ単位元たんいげんに対たいする各元かくげんの逆元ぎゃくげんの存在そんざいを表あらわす。

1Definition of a group

A pair $$(G,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(G,\ast) consisting of a set $$G$$G and a binary operation $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:G\times G\to G$$\ast:G\times G\to G is a group if it satisfies the following conditions. Closure is already included in the statement that $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast is a binary operation on $$G$$G.

For this same $$e$$e,

The first equality is the associative law for every $$a,b,c\in G$$a,b,c\in G; the next two statements assert the existence of an identity and of an inverse for every element relative to that same identity.

2何故なぜこれらの条件じょうけんか

閉包性へいほうせいは、演算えんざんの結果けっかが同おなじ世界せかいに残のこることを保証ほしょうする。結合法則けつごうほうそくは、操作そうさを何なに回かいも続つづけるときに括弧かっこの位置いちを気きにしなくてよいことを保証ほしょうする。単位元たんいげんは何なにもしない操作そうさであり、逆元ぎゃくげんは操作そうさを取とり消けす操作そうさである。

これらの条件じょうけんがあると、方程式ほうていしき

を

と一意いちいに解とける。実際じっさい、左ひだりから $$a^{-1}$$a^{-1} を演算えんざんすると

となり、$$x=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$x=a^{-1}\ast b を得える。つまり任意にんいの解かいはこの値あたいに等ひとしいので一意いちいである。逆ぎゃくにこの値あたいを代入だいにゅうすれば $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}\left(a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\right)=\left(a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=b$$a\ast(a^{-1}\ast b)=(a\ast a^{-1})\ast b=e\ast b=b であり、実際じっさいに解かいになる。非可換群ひかかんぐんでは掛かける側がわが重要じゅうようであり、$$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b の解かいは $$x=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}$$x=b\ast a^{-1} となる。

2Why these conditions?

Closure guarantees that the result of an operation stays in the same world. Associativity guarantees that when operations are repeated, the position of parentheses does not matter. The identity element単位元たんいげん is the operation that does nothing, and an inverse is an operation that cancels another operation.

With these conditions, the equation

has the unique solution

Indeed, operating on the left by $$a^{-1}$$a^{-1} gives

so $$x=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$x=a^{-1}\ast b. Thus every solution is forced to have this value and is unique. Conversely, substituting the value gives $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}\left(a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\right)=\left(a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=b$$a\ast(a^{-1}\ast b)=(a\ast a^{-1})\ast b=e\ast b=b, so it really is a solution. In a noncommutative group, the side matters: the solution of $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b is $$x=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}$$x=b\ast a^{-1}.

3可換群かかんぐん

全すべての $$a,b\in G$$a,b\in G について

が成立せいりつする群ぐんを可換群かかんぐんabelian groupという。整数せいすうの足たし算ざんは可換かかんである。一方いっぽう、置換ちかんの合成ごうせいや行列積ぎょうれつせきは一般いっぱんに可換かかんでない。

ここでは、置換ちかんは集合しゅうごうの元げんを入いれ替かえる操作そうさ、行列積ぎょうれつせきは非可換ひかかんな演算えんざんの例れいとしてだけ使つかう。

3Abelian groups

A group群ぐん in which

holds for all $$a,b\in G$$a,b\in G is called an abelian group可換群かかんぐん. Addition of integers is commutative. In contrast, composition of permutations and matrix multiplication are generally not commutative.

Here a permutation is used only as an operation that rearranges elements of a set, and matrix multiplication is used only as an example of a noncommutative operation.

4基本きほん例れい

$$R^{\times }$$\mathbb R^\times は 0 でない実数じっすう全体ぜんたいである。0 を除のぞくのは、0 に乗法逆元じょうほうぎゃくげんがないからである。

$$S_n$$S_n は $$\{1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},n\}$$\{1,\dots,n\} から自分自身じぶんじしんへの全単射ぜんたんしゃ、つまり置換ちかんの全体ぜんたいである。$$G{L}_n\left(\mathbb{R}\right)$$GL_n(\mathbb R) は積せきに関かんして逆元ぎゃくげんを持もつ $$n\times n$$n\times n 実じつ行列ぎょうれつの全体ぜんたいである。行列ぎょうれつの詳くわしい計算けいさんは、このページの証明しょうめいの前提ぜんていにはしない。

$$S_n$$S_n では、全単射ぜんたんしゃの合成ごうせいは全単射ぜんたんしゃであり、写像しゃぞうの合成ごうせいは結合的けつごうてきである。恒等写像こうとうしゃぞうが単位元たんいげんで、全単射ぜんたんしゃには逆写像ぎゃくしゃぞうがある。$$G{L}_n\left(\mathbb{R}\right)$$GL_n(\mathbb R) では、$$A,B$$A,B が可逆かぎゃくなら $$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} なので積せきも可逆かぎゃくである。行列積ぎょうれつせきの結合法則けつごうほうそく、単位行列たんいぎょうれつ、逆行列ぎゃくぎょうれつと合あわせて群ぐんの条件じょうけんが揃そろう。

4Basic examples

Here $$R^{\times }$$\mathbb R^\times is the set of all nonzero real numbers. The element 0 is excluded because it has no multiplicative inverse.

The group $$S_n$$S_n is the set of all bijections from $$\{1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},n\}$$\{1,\dots,n\} to itself, that is, all permutations. The group $$G{L}_n\left(\mathbb{R}\right)$$GL_n(\mathbb R) is the set of all $$n\times n$$n\times n real matrices that have inverses under multiplication. Detailed matrix calculations are not used as a prerequisite for the proofs on this page.

In $$S_n$$S_n, a composition of bijections is a bijection, composition of maps is associative, the identity map is the identity element, and every bijection has an inverse map. In $$G{L}_n\left(\mathbb{R}\right)$$GL_n(\mathbb R), if $$A$$A and $$B$$B are invertible, then $$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, so the product remains invertible. Associativity of matrix multiplication, the identity matrix, and inverse matrices provide the other group conditions.

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

群ぐんとして見みると、元げんの具体的ぐたいてきな姿すがたは重要じゅうようでなくなる。整数せいすう、置換ちかん、行列ぎょうれつは別物べつものである。しかし、演算えんざんを繰くり返かえせること、単位元たんいげんがあること、逆元ぎゃくげんで戻もどせることは共通きょうつうしている。この共通構造きょうつうこうぞうを保存ほぞんして議論ぎろんするのが群論ぐんろんである。

5What changes and what is preserved

When objects are viewed as groups, the concrete appearance of the elements becomes less important. Integers, permutations, and matrices are different kinds of objects. However, the ability to repeat the operation, the existence of an identity element単位元たんいげん, and the ability to return by an inverse are shared. Group theory studies arguments while preserving this common structure.

6証明しょうめい補足ほそく：単位元たんいげん・逆元ぎゃくげん・消去法則しょうきょほうそく

群ぐんgroup では、単位元たんいげんは一意いちいである。$e$e と $e^{\prime }$e' がどちらも単位元たんいげんだとする。$e$e は単位元たんいげんなので $e{e}^{\prime }=e^{\prime }$ee'=e' であり、$e^{\prime }$e' は単位元たんいげんなので $e{e}^{\prime }=e$ee'=e である。したがって $e=e^{\prime }$e=e' である。

逆元ぎゃくげんも一意いちいである。$b$b と $c$c がどちらも $a$a の逆元ぎゃくげんだとする。つまり $ab=e$ab=e、$ca=e$ca=e である。このとき

である。ここで結合法則けつごうほうそくを使つかっている。

さらに、群ぐんでは消去法則しょうきょほうそくcancellation law が成立せいりつする。

および

である。最初さいしょの式しきは、左ひだりから $a^{-1}$a^{-1} を掛かけると

である。結合法則けつごうほうそくより $\left(a^{-1}a\right)b=\left(a^{-1}a\right)c$(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c、つまり $eb=ec$eb=ec となる。したがって $b=c$b=c である。二ふたつ目めも右みぎから $a^{-1}$a^{-1} を掛かければ同様どうように従したがう。

この証明しょうめいは、群ぐんで「逆ぎゃくに戻もどせる」ことが、方程式ほうていしきを解とく力ちからになっていることを示しめしている。

6Proof supplement: identity elements, inverses, and cancellation

In a group群ぐん, the identity element単位元たんいげん is unique. Suppose $$e$$e and $$e^{\prime }$$e' are both identity elements. Since $$e$$e is an identity element単位元たんいげん, $$e{e}^{\prime }=e^{\prime }$$ee'=e'. Since $$e^{\prime }$$e' is an identity element単位元たんいげん, $$e{e}^{\prime }=e$$ee'=e. Therefore $$e=e^{\prime }$$e=e'.

Inverses are also unique. Suppose $$b$$b and $$c$$c are both inverses of $$a$$a. That means $$ab=e$$ab=e and $$ca=e$$ca=e. Then

Here the associative law結合法則けつごうほうそく is used.

Furthermore, the cancellation law消去法則しょうきょほうそく holds in a group:

and

For the first implication, multiplying by $$a^{-1}$$a^{-1} from the left gives

By associativity, $$\left(a^{-1}a\right)b=\left(a^{-1}a\right)c$$(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c, so $$eb=ec$$eb=ec. Therefore $$b=c$$b=c. The second implication follows similarly by multiplying by $$a^{-1}$$a^{-1} on the right.

This proof証明しょうめい shows that in a group, the ability to undo operations is what gives us the power to solve equations.

7演習えんしゅうリンク

7Exercise link

8まとめ

群ぐんは、結合法則けつごうほうそくを満みたす二項演算にこうえんざんと、単位元たんいげん・各元かくげんの逆元ぎゃくげんを持もつ代数的構造だいすうてきこうぞうである。群ぐんを学まなぶ理由りゆうは、数かず・置換ちかん・行列ぎょうれつ・対称性たいしょうせいを同おなじ言葉ことばで扱あつかうためである。

8Summary

A group群ぐん is an algebraic structure代数的構造だいすうてきこうぞう with an associative binary operation, an identity element単位元たんいげん, and an inverse for every element. The reason to study groups is to handle numbers, permutations, matrices, and symmetries in the same language.