群ぐんgroupと部分群ぶぶんぐんsubgroup 基本きほん演習えんしゅう

groups群ぐん and subgroups部分群ぶぶんぐん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2取とり組くむ順序じゅんじょ

「半群はんぐん・モノイド・群ぐん」の後あとは問題もんだい1と証明演習しょうめいえんしゅうに取とり組くめる。「部分群ぶぶんぐんと生成せいせい」の後あとに問題もんだい2・3を行おこなう。このページの prerequisites は全問題ぜんもんだいに取とり組くむための最終到達点さいしゅうとうたつてんを表あらわす。

2Suggested order

After “Semigroups, monoids, and groups,” complete Problem 1 and the proof exercise. After “Subgroups and generators,” complete Problems 2–3. The page prerequisites describe what is needed to complete the whole page.

3関連かんれん演習えんしゅう

3Related exercises

4問題もんだい1：半群はんぐん・モノイド・群ぐんの条件じょうけんを判定はんていする

ここでは $$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$$\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\} とする。$$(\mathbb{N},+)$$(\mathbb N,+) は半群はんぐん、モノイド、群ぐんのどこまでの条件じょうけんを満みたすか。

4Problem 1: test the semigroup, monoid, and group conditions

Here $$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$$\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}. Determine which of the semigroup, monoid, and group群ぐん conditions are satisfied by $$(\mathbb{N},+)$$(\mathbb N,+).

4.1解答かいとう

自然数しぜんすうの加法かほうは閉とじていて結合法則けつごうほうそくを満みたすので、$$(\mathbb{N},+)$$(\mathbb N,+) は半群はんぐんである。さらに 0 が単位元たんいげんなのでモノイドである。しかし、たとえば 3 の加法逆元かほうぎゃくげん $$-3$$-3 は $$\mathbb{N}$$\mathbb N に含ふくまれないため、群ぐんではない。

4.1Answer

Addition is closed and associative on the natural numbers, so $$(\mathbb{N},+)$$(\mathbb N,+) is a semigroup. Since 0 is an identity element, it is also a monoid. It is not a group, because, for example, the additive inverse $$-3$$-3 of 3 is not in $$\mathbb{N}$$\mathbb N.

4.2解説かいせつ

群ぐんgroupでは、全すべての元げんelementに逆元ぎゃくげんinverse elementが必要ひつようである。閉包性へいほうせいclosureや結合法則けつごうほうそくassociativityだけでは不ふ十分じゅうぶんである。

4.2Explanation

In a group, every element must have an inverse. Closure and associativity結合法則けつごうほうそく alone are not enough.

5問題もんだい2：部分群ぶぶんぐんsubgroupか判定はんていする

$$2\mathbb{Z}$$2\mathbb Z は $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんsubgroupか。

5Problem 2: decide whether it is a subgroup部分群ぶぶんぐん

Is $$2\mathbb{Z}$$2\mathbb Z a subgroup部分群ぶぶんぐん of $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+)?

5.1解答かいとう

部分群ぶぶんぐんsubgroupである。空からでなく、任意にんいの $$2a,2b\in 2\mathbb{Z}$$2a,2b\in2\mathbb Z について

である。

5.1Answer

It is a subgroup部分群ぶぶんぐん. It is nonempty, and for any $$2a,2b\in 2\mathbb{Z}$$2a,2b\in2\mathbb Z,

5.2解説かいせつ

加法かほう群ぐんgroupでは、部分群ぶぶんぐんsubgroup判定はんていは差さで閉とじているかを見みるとよい。

5.2Explanation

For an additive group, the subgroup部分群ぶぶんぐん test can be checked by closure閉包性へいほうせい under differences.

6問題もんだい3：生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんsubgroup

$$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/8\mathbb Z,+) で $$\left[2\right]$$[2] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんsubgroupを求もとめよ。

6Problem 3: generated subgroup部分群ぶぶんぐん

In $$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/8\mathbb Z,+), find the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[2\right]$$[2].

6.1解答かいとう

$$\left[2\right]$$[2] の任意にんいの整数倍せいすうばいは $$k\left[2\right]=\left[2k\right]$$k[2]=[2k] と書かける。$$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z を $$k=4q+r$$k=4q+r、$$r\in \{0,1,2,3\}$$r\in\{0,1,2,3\} と書かけば、

なので、どの整数倍せいすうばいも $$\left[0\right],\left[2\right],\left[4\right],\left[6\right]$$[0],[2],[4],[6] のいずれかである。逆ぎゃくに、$$q=0$$q=0、$$k=r=0,1,2,3$$k=r=0,1,2,3 とすればこの 4 元げんがそれぞれ得えられる。したがって両方りょうほうの包含ほうがんが成立せいりつし、

である。

6.1Answer

Every integer multiple of $$\left[2\right]$$[2] has the form $$k\left[2\right]=\left[2k\right]$$k[2]=[2k]. Write any $$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z as $$k=4q+r$$k=4q+r with $$r\in \{0,1,2,3\}$$r\in\{0,1,2,3\}. Then

so every integer multiple is one of $$\left[0\right],\left[2\right],\left[4\right],\left[6\right]$$[0],[2],[4],[6]. Conversely, taking $$q=0$$q=0 and $$k=r=0,1,2,3$$k=r=0,1,2,3 gives these four elements, respectively. Both inclusions therefore hold, and

6.2解説かいせつ

生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんsubgroupは、指定していした元げんelementから演算えんざんoperationと逆元ぎゃくげんinverse elementを使つかって到達とうたつできる元げんelement全体ぜんたいである。

6.2Explanation

The subgroup部分群ぶぶんぐん generated by a specified element is the set of all elements reachable from it using the operation and inverses.

7証明しょうめい演習えんしゅう：積せきの逆元ぎゃくげんと方程式ほうていしき

7Proof exercise: inverse of a product and equations

7.1問題もんだい

群ぐん $$G$$G の元げん $$a,b$$a,b に対たいして $$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} を証明しょうめいせよ。また、$$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}x=b$$a\ast x=b と $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b の解かいをそれぞれ求もとめ、その解かいが一意いちいであることを示しめせ。

7.1Problem

For elements $$a,b$$a,b of a group $$G$$G, prove $$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Also solve $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}x=b$$a\ast x=b and $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b, and prove that each solution is unique.

7.2解答かいとう

なので、逆元ぎゃくげんの一意性いちいせいから $$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} である。

$$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}x=b$$a\ast x=b の左ひだりから $$a^{-1}$$a^{-1} を演算えんざんすると $$x=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$x=a^{-1}\ast b を得える。したがって任意にんいの解かいはこの値あたいに等ひとしい。$$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b の右みぎから $$a^{-1}$$a^{-1} を演算えんざんすると $$x=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}$$x=b\ast a^{-1} を得えて、こちらも任意にんいの解かいがこの値あたいに強制きょうせいされる。どちらも代入だいにゅうすれば実際じっさいに解かいであることが分わかるので、解かいは存在そんざいして一意いちいである。

7.2Answer

We have

Uniqueness of inverses therefore gives $$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

Operating on the left of $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}x=b$$a\ast x=b by $$a^{-1}$$a^{-1} gives $$x=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$x=a^{-1}\ast b, so every solution is forced to have this value. Operating on the right of $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b by $$a^{-1}$$a^{-1} gives $$x=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}$$x=b\ast a^{-1}, again forcing every solution to have that value. Substitution verifies both candidates, so each solution exists and is unique.

7.3解説かいせつ

非可換群ひかかんぐんでは因子いんしの順序じゅんじょが重要じゅうようである。積せきを元もとに戻もどすときは逆順ぎゃくじゅんに逆元ぎゃくげんを掛かけ、方程式ほうていしきでも未知元みちげんのある側がわに応おうじて逆元ぎゃくげんを作用さようさせる。

7.3Explanation

Order matters in a noncommutative group. Undoing a product requires inverses in reverse order, and solving an equation requires operating on the side determined by the position of the unknown.