部分群ぶぶんぐんsubgroupと生成せいせいgeneration

群ぐんの中なかに、群ぐんとしての構造こうぞうを保たもった小ちいさな部分ぶぶんを見みつけたいことがある。そのような部分集合ぶぶんしゅうごうが部分群ぶぶんぐんである。

部分群ぶぶんぐんは、単たんなる部分集合ぶぶんしゅうごうではない。元げんどうしを演算えんざんしても中なかに残のこり、逆元ぎゃくげんも中なかに残のこる必要ひつようがある。

subgroups部分群ぶぶんぐん and generation生成せいせい

Inside a group群ぐん, we often want to find a smaller part that still preserves the structure of a group. Such a subset is a subgroup部分群ぶぶんぐん.

A subgroup部分群ぶぶんぐん is not merely a subset. When elements are operated on, the result must remain inside, and inverse elements must also remain inside.

1部分群ぶぶんぐんの定義ていぎ

群ぐん $$G$$G の部分集合ぶぶんしゅうごう $$H\subseteq G$$H\subseteq G が部分群ぶぶんぐんであるとは、$$H$$H が $$G$$G の演算えんざんを受うけ継ついで群ぐんになることである。

実用上じつようじょうは、次つぎの条件じょうけんで判定はんていできる。

かつ、任意にんいの $$a,b\in H$$a,b\in H について

が成立せいりつするなら、$$H$$H は部分群ぶぶんぐんである。

この判定はんていでは割わり算ざんをしているように見みえるが、群ぐん $$G$$G にある逆元ぎゃくげん $$b^{-1}$$b^{-1} を使つかっている。確認かくにんすべき点てんは、その逆元ぎゃくげんや積せきが小ちいさい集合しゅうごう $$H$$H にも残のこることである。

1Definition of a subgroup部分群ぶぶんぐん

A subset $$H\subseteq G$$H\subseteq G of a group $$G$$G is a subgroup部分群ぶぶんぐん if $$H$$H becomes a group using the operation inherited from $$G$$G.

In practice, it can be tested by the following criterion.

and for all $$a,b\in H$$a,b\in H,

If these hold, then $$H$$H is a subgroup部分群ぶぶんぐん.

This criterion may look like division, but it uses the inverse $$b^{-1}$$b^{-1} that exists in the ambient group $$G$$G. What must be proved is that inverses and products also remain in the smaller set $$H$$H.

2具体例ぐたいれい

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の中なかで、偶数ぐうすう全体ぜんたい

は部分群ぶぶんぐんである。0 を含ふくみ、偶数ぐうすうどうしの差さは偶数ぐうすうだからである。

一方いっぽう、自然数全体しぜんすうぜんたい $$\mathbb{N}$$\mathbb N は $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんではない。たとえば 3 は含ふくむが、逆元ぎゃくげん $$-3$$-3 を含ふくまない。

2Concrete examples

Inside $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+), the set of all even integers

is a subgroup部分群ぶぶんぐん. It contains 0, and the difference of two even integers is even.

On the other hand, the set of natural numbers $$\mathbb{N}$$\mathbb N is not a subgroup部分群ぶぶんぐん of $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+). For example, it contains 3 but does not contain the inverse $$-3$$-3.

3生成元せいせいげん

群ぐん $$G$$G の部分集合ぶぶんしゅうごう $$A$$A から、$$A$$A の元げんとその逆元ぎゃくげんの有限積ゆうげんせき

として得えられる元げん全体ぜんたいを、$$A$$A が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんという。$$r=0$$r=0 の空積くうせきは単位元たんいげん $$e$$e と定さだめるので、$$A=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$A=\varnothing のときも $$⟨A⟩=\left\{e\right\}$$\langle A\rangle=\{e\} となる。

と書かく。

一ひとつの元げん $$a$$a で生成せいせいされる群ぐん

を $$a$$a が生成せいせいする巡回部分群じゅんかいぶぶんぐんcyclic subgroupという。ここで $$a^0=e$$a^0=e、$$m>0$$m>0 に対たいして $$a^{-m}=(a^{-1}{)}^m$$a^{-m}=(a^{-1})^m とする。群ぐん $$G$$G が $$G=⟨a⟩$$G=\langle a\rangle と書かけるとき、$$G$$G を巡回群じゅんかいぐんcyclic groupという。

3Generators

Given a subset $$A$$A of a group $$G$$G, consider all finite products

Their set is the subgroup generated by $$A$$A. The empty product for $$r=0$$r=0 is defined to be the identity $$e$$e, so $$⟨A⟩=\left\{e\right\}$$\langle A\rangle=\{e\} when $$A=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$A=\varnothing.

It is written

A group generated by one element $$a$$a,

is the cyclic subgroup generated by $$a$$a. Here $$a^0=e$$a^0=e and $$a^{-m}=(a^{-1}{)}^m$$a^{-m}=(a^{-1})^m for $$m>0$$m>0. A group $$G$$G is called cyclic when $$G=⟨a⟩$$G=\langle a\rangle for some $$a\in G$$a\in G.

4例れい：剰余類じょうよるいの巡回群じゅんかいぐん

$$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+) では、$$\left[1\right]$$[1] は全体ぜんたいを生成せいせいする。

が $$\left[1\right]$$[1] の繰くり返かえしで得えられるからである。一方いっぽう、$$\left[2\right]$$[2] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんは

である。これが全すべてであることも確たしかめる。$$\left[2\right]$$[2] の任意にんいの整数倍せいすうばいを $$k\left[2\right]$$k[2] と書かき、$$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z を $$k=3q+r$$k=3q+r、$$r\in \{0,1,2\}$$r\in\{0,1,2\} と書かけば、

は $$\left[0\right],\left[2\right],\left[4\right]$$[0],[2],[4] のいずれかである。逆ぎゃくに、$$q=0$$q=0、$$k=r=0,1,2$$k=r=0,1,2 とすればこの 3 元げんがそれぞれ得えられるので、列挙れっきょした集合しゅうごうと $$⟨\left[2\right]⟩$$\langle[2]\rangle は一致いっちする。

4Example: cyclic groups of residue classes

In $$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+), the element $$\left[1\right]$$[1] generates the whole group.

are obtained by repeatedly adding $$\left[1\right]$$[1]. On the other hand, the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[2\right]$$[2] is

To verify that these are all its elements, write an arbitrary integer multiple of $$\left[2\right]$$[2] as $$k\left[2\right]$$k[2], and write $$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z as $$k=3q+r$$k=3q+r with $$r\in \{0,1,2\}$$r\in\{0,1,2\}. Then

which is one of $$\left[0\right],\left[2\right],\left[4\right]$$[0],[2],[4]. Conversely, taking $$q=0$$q=0 and $$k=r=0,1,2$$k=r=0,1,2 gives these three elements, respectively. Hence the displayed set equals $$⟨\left[2\right]⟩$$\langle[2]\rangle.

5何なにが保存ほぞんされるか

部分群ぶぶんぐんでは、元げんの群ぐんの演算えんざん、単位元たんいげん、逆元ぎゃくげんがそのまま保たもたれる。変かわるのは、使つかえる元げんの範囲はんいである。生成せいせいでは、少数しょうすうの元げんから閉包性へいほうせいと逆元ぎゃくげんを使つかって、必要最小限ひつようさいしょうげんの部分群ぶぶんぐんを作つくる。

5What is preserved

In a subgroup部分群ぶぶんぐん, the operation, identity element単位元たんいげん, and inverses of the group are preserved as they are. What changes is the range of elements available. In generation, starting from a small number of specified elements, closure閉包性へいほうせい and inverses are used to build the smallest necessary subgroup部分群ぶぶんぐん.

6証明しょうめい補足ほそく：部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうと生成部分群せいせいぶぶんぐんの最小性さいしょうせい

$G$G を群ぐん、$H\subseteq G$H\subseteq G を空からでない部分集合ぶぶんしゅうごうとする。もし

が成立せいりつするなら、$H$H は部分群ぶぶんぐんsubgroup である。

証明しょうめいする。$H$H は空からでないので、ある $h\in H$h\in H が存在そんざいする。すると $h{h}^{-1}=e\in H$hh^{-1}=e\in H である。つぎに $x\in H$x\in H とする。$e\in H$e\in H なので、条件じょうけんを $e,x$e,x に使つかうと $e{x}^{-1}=x^{-1}\in H$ex^{-1}=x^{-1}\in H である。最後さいごに $x,y\in H$x,y\in H とする。いま $y^{-1}\in H$y^{-1}\in H が分わかっているので、条件じょうけんを $x,y^{-1}$x,y^{-1} に使つかうと $x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H である。よって $H$H は単位元たんいげん、逆元ぎゃくげん、積せきについて閉とじている。結合法則けつごうほうそくは $$G$$G の演算えんざんからそのまま受うけ継つぐので、$$H$$H は群ぐん、すなわち部分群ぶぶんぐんである。

有限積ゆうげんせきの集合しゅうごうは、空積くうせき $$e$$e を含ふくみ、二ふたつの有限積ゆうげんせきの因子いんしを順じゅんに並ならべれば積せきになり、因子いんしを逆順ぎゃくじゅんにしてそれぞれを逆元ぎゃくげんにすれば逆元ぎゃくげんになる。結合法則けつごうほうそくは $$G$$G から受うけ継つぐので、これは部分群ぶぶんぐんである。

生成部分群せいせいぶぶんぐん $⟨S⟩$\langle S\rangle は、$S$S を含ふくむすべての部分群ぶぶんぐんの共通部分きょうつうぶぶんとしても定義ていぎできる。

この共通部分きょうつうぶぶんは部分群ぶぶんぐんである。なぜなら、単位元たんいげんはすべての $H$H に含ふくまれ、積せきと逆元ぎゃくげんも各かく $H$H の中なかで閉とじているからである。また、どの $H$H も $S$S を含ふくむので、共通部分きょうつうぶぶんも $S$S を含ふくむ。さらに $S$S を含ふくむ任意にんいの部分群ぶぶんぐん $K$K は、交まじわりを取とる対象たいしょうの一ひとつなので、$⟨S⟩\subseteq K$\langle S\rangle\subseteq K である。よって $⟨S⟩$\langle S\rangle は $S$S を含ふくむ最小さいしょうの部分群ぶぶんぐんである。先さきに定義ていぎした有限積ゆうげんせきの集合しゅうごうは $$S$$S を含ふくむ部分群ぶぶんぐんなので、この共通部分きょうつうぶぶんを含ふくむ。一方いっぽう、$$S$$S を含ふくむどの部分群ぶぶんぐんも $$S$$S の元げんと逆元ぎゃくげんの有限積ゆうげんせきを全すべて含ふくむ。したがって二ふたつの定義ていぎは一致いっちする。

6Proof supplement: subgroup部分群ぶぶんぐん criterion and minimality of generated subgroups部分群ぶぶんぐん

Let $$G$$G be a group and let $$H\subseteq G$$H\subseteq G be a nonempty subset. If

holds, then $$H$$H is a subgroup部分群ぶぶんぐん.

Proof. Since $$H$$H is nonempty, there exists $$h\in H$$h\in H. Then $$h{h}^{-1}=e\in H$$hh^{-1}=e\in H. Next let $$x\in H$$x\in H. Since $$e\in H$$e\in H, applying the condition to $$e,x$$e,x gives $$e{x}^{-1}=x^{-1}\in H$$ex^{-1}=x^{-1}\in H. Finally, if $$x,y\in H$$x,y\in H, we already know $$y^{-1}\in H$$y^{-1}\in H, so applying the condition to $$x,y^{-1}$$x,y^{-1} gives $$x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H. Thus $$H$$H contains the identity, inverses, and products. Associativity is inherited from the operation on $$G$$G, so $$H$$H is a group and hence a subgroup.

The set of finite products contains the empty product $$e$$e. Listing the factors of two finite products in order gives their product, and reversing the factors while inverting each one gives the inverse. Associativity is inherited from $$G$$G, so this set is a subgroup.

The generated subgroup $$⟨S⟩$$\langle S\rangle can also be defined as the intersection of all subgroups that contain $$S$$S:

This intersection is a subgroup, because the identity lies in every such $$H$$H and products and inverses are closed in each $$H$$H. Also, since every such $$H$$H contains $$S$$S, the intersection contains $$S$$S. Moreover, any subgroup $$K$$K containing $$S$$S is one of those being intersected, so $$⟨S⟩\subseteq K$$\langle S\rangle\subseteq K. Therefore $$⟨S⟩$$\langle S\rangle is the smallest subgroup containing $$S$$S. The set of finite products defined earlier is itself a subgroup containing $$S$$S, so it contains this intersection. Conversely, every subgroup containing $$S$$S contains every finite product of elements of $$S$$S and their inverses. Thus the two definitions agree.

7計算けいさん補足ほそく：$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z で $$\left[k\right]$$[k] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐん

$$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}1$$n\ge1、$$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z とする。有限群ゆうげんぐんやその部分群ぶぶんぐんの位数いすうorderとは、その元げんの個数こすうである。加法群かほうぐん $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+) で $$\left[k\right]$$[k] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんの元げんは

である。この列れつが初はじめて $$\left[0\right]$$[0] に戻もどる正せいの整数せいすう $$m$$m は、$$n\mid mk$$n\mid mk を満みたす最小さいしょうの $$m$$m である。$$d=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n,k)$$d=\gcd(n,k)、$$n=d{n}^{\prime }$$n=dn'、$$k=d{k}^{\prime }$$k=dk' と書かくと $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n^{\prime },k^{\prime })=1$$\gcd(n',k')=1 であり、

となる。最後さいごの同値どうちを確認かくにんする。$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n^{\prime },k^{\prime })=1$$\gcd(n',k')=1 なので、ベズーの等式とうしき $$u{n}^{\prime }+v{k}^{\prime }=1$$un'+vk'=1 を満みたす整数せいすう $$u,v$$u,v がある。$$n^{\prime }\mid m{k}^{\prime }$$n'\mid mk' なら $$m=mu{n}^{\prime }+mv{k}^{\prime }$$m=mun'+mvk' の右辺うへんの両項りょうこうを $$n^{\prime }$$n' が割わるので、$$n^{\prime }\mid m$$n'\mid m である。逆向ぎゃくむきは明あきらかである。したがって最小さいしょうの $$m$$m は $$n^{\prime }=n/d$$n'=n/d である。

さらに、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}i<j<m$$0\le i<j<m で $$\left[ik\right]=\left[jk\right]$$[ik]=[jk] なら $$\left[\right(j-i\left)k\right]=\left[0\right]$$[(j-i)k]=[0] となり、$$0<j-i<m$$0<j-i<m が $$m$$m の最小性さいしょうせいに矛盾むじゅんする。よって $$\left[0\right],\left[k\right],\dots ,\left[\right(m-1\left)k\right]$$[0],[k],\ldots,[(m-1)k] は相異あいことなる。$$\left[mk\right]=\left[0\right]$$[mk]=[0] なのでその後あとは周期しゅうき $$m$$m で繰くり返かえす。したがって

である。

たとえば $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$\mathbb Z/12\mathbb Z で $$\left[8\right]$$[8] を考かんがえると、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(12,8)=4$$\gcd(12,8)=4 なので生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんの位数いすうは $$12/4=3$$12/4=3 である。実際じっさい、

である。

7Calculation supplement: the subgroup部分群ぶぶんぐん generated by $$\left[k\right]$$[k] in $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z

Let $$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}1$$n\ge1 and $$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z. The order位数いすう of a finite group or subgroup is its number of elements. In the additive group $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+), the elements of the subgroup generated by $$\left[k\right]$$[k] are

The first positive integer $$m$$m for which this sequence returns to $$\left[0\right]$$[0] is the smallest $$m$$m satisfying $$n\mid mk$$n\mid mk. Write $$d=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n,k)$$d=\gcd(n,k), $$n=d{n}^{\prime }$$n=dn', and $$k=d{k}^{\prime }$$k=dk'. Then $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n^{\prime },k^{\prime })=1$$\gcd(n',k')=1 and

To justify the last equivalence, use Bezout's identity. Since $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n^{\prime },k^{\prime })=1$$\gcd(n',k')=1, there are integers $$u,v$$u,v such that $$u{n}^{\prime }+v{k}^{\prime }=1$$un'+vk'=1. If $$n^{\prime }\mid m{k}^{\prime }$$n'\mid mk', then both terms on the right of $$m=mu{n}^{\prime }+mv{k}^{\prime }$$m=mun'+mvk' are divisible by $$n^{\prime }$$n', so $$n^{\prime }\mid m$$n'\mid m; the converse is immediate. Thus the least possible $$m$$m is $$n^{\prime }=n/d$$n'=n/d.

Moreover, if $$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}i<j<m$$0\le i<j<m and $$\left[ik\right]=\left[jk\right]$$[ik]=[jk], then $$\left[\right(j-i\left)k\right]=\left[0\right]$$[(j-i)k]=[0], contradicting the minimality of $$m$$m because $$0<j-i<m$$0<j-i<m. Hence $$\left[0\right],\left[k\right],\dots ,\left[\right(m-1\left)k\right]$$[0],[k],\ldots,[(m-1)k] are distinct. Since $$\left[mk\right]=\left[0\right]$$[mk]=[0], the sequence then repeats with period $$m$$m. Therefore

For example, in $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$\mathbb Z/12\mathbb Z, consider $$\left[8\right]$$[8]. Since $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(12,8)=4$$\gcd(12,8)=4, the generated subgroup部分群ぶぶんぐん has order位数いすう $$12/4=3$$12/4=3. Indeed,

8演習えんしゅうリンク

8Exercise link

9まとめ

部分群ぶぶんぐんは、群ぐんの構造こうぞうを保たもったまま元げんを制限せいげんしたものである。生成せいせいは、指定していした元げんから閉とじた最小さいしょうの部分群ぶぶんぐんを作つくる操作そうさであり、巡回群じゅんかいぐんは一ひとつの元げんで生成せいせいされる群ぐんである。

9Summary

A subgroup部分群ぶぶんぐん is obtained by restricting the elements while preserving the group structure. Generation生成せいせい builds the smallest subgroup from specified elements, and a cyclic group巡回群じゅんかいぐん is a group generated by one element.