剰余類じょうよるいcosetとラグランジュの定理ていり

date2026-07-14document_iddoc_323cb9ec267a59419dd81186f193cca7description群における剰余類を導入し、有限群の位数と部分群の位数を結ぶラグランジュの定理を説明する。prerequisites[部分群/ぶぶんぐん]と[生成/せいせい]type講義content_typelecturestatusactive

mathabstract-algebragroup-theorylecture

整数せいすうの剰余類じょうよるいは、整数せいすうを余あまりで分類ぶんるいするものだった。群ぐんでも、部分群ぶぶんぐんを基準きじゅんにして元げんを分類ぶんるいできる。その分類ぶんるいが群ぐんの剰余類じょうよるいである。

cosets剰余類じょうよるい and Lagrange's theorem

Residue classes of integers classify integers by remainders. In a group群ぐん, elements can also be classified using a subgroup部分群ぶぶんぐん as the standard. This classification is the group-theoretic notion of a coset剰余類じょうよるい.

1左剰余類ひだりじょうよるい

群ぐん $G$ の部分群ぶぶんぐん $H$ と元げん $g \in G$ に対たいして、

g H = {g h ∣ h \in H}

を $H$ の左剰余類ひだりじょうよるいleft cosetという。

右みぎから掛かける

H g = {h g ∣ h \in H}

を右剰余類みぎじょうよるいright cosetという。

群ぐんが可換かかんなら左剰余類ひだりじょうよるいと右剰余類みぎじょうよるいは一致いっちする。しかし一般いっぱんの群ぐんでは一致いっちするとは限かぎらない。

1Left cosets剰余類じょうよるい

For a subgroup部分群ぶぶんぐん $H$ of a group $G$ and an element $g \in G$ ,

g H = {g h ∣ h \in H}

is called the left coset左剰余類ひだりじょうよるい of $H$ by $g$ .

The set obtained by multiplying from the right,

H g = {h g ∣ h \in H}

is called the right coset右剰余類みぎじょうよるい.

If the group is commutative, left cosets剰余類じょうよるい and right cosets剰余類じょうよるい coincide. In a general group, however, they need not coincide.

2剰余類じょうよるいは群ぐんを分割ぶんかつする

左剰余類ひだりじょうよるいどうしは、等ひとしいか交まじわらないかのどちらかである。また、全すべての左剰余類ひだりじょうよるいを集あつめると $G$ 全体ぜんたいを覆おおう。

これは、剰余類じょうよるいが $G$ を同おなじ大おおきさの箱はこに分わけることを意味いみする。

2Cosets partition a group

Any two left cosets剰余類じょうよるい are either equal or disjoint. Also, the collection of all left cosets剰余類じょうよるい covers all of $G$ .

This means that cosets剰余類じょうよるい divide $G$ into boxes of the same size.

3ラグランジュの定理ていり

有限群ゆうげんぐん $G$ と部分群ぶぶんぐん $H$ に対たいして、

| G | = [G : H] | H |

が成立せいりつする。ここで $[G : H]$ は $H$ の左剰余類ひだりじょうよるいの個数こすうである。

したがって、

| H | ∣ | G |

である。これがラグランジュの定理ていりLagrange's theoremである。

3Lagrange's theorem

For a finite group $G$ and a subgroup部分群ぶぶんぐん $H$ ,

| G | = [G : H] | H |

holds. Here $[G : H]$ is the number of left cosets剰余類じょうよるい of $H$ .

Therefore,

| H | ∣ | G |

This is Lagrange's theoremラグランジュの定理ていり.

4具体例ぐたいれい

$G = Z / 6 Z$ 、 $H = {[0], [3]}$ とする。 $H$ の位数いすうは 2 である。剰余類じょうよるいは

[0] + H = {[0], [3]}

[1] + H = {[1], [4]}

[2] + H = {[2], [5]}

の三みっつである。したがって $| G | = 6 = 3 \cdot 2$ である。

4Concrete example

Let $G = Z / 6 Z$ and $H = {[0], [3]}$ . The order位数いすう of $H$ is 2. The cosets剰余類じょうよるい are

[0] + H = {[0], [3]}

[1] + H = {[1], [4]}

[2] + H = {[2], [5]}

There are three such cosets剰余類じょうよるい, so $| G | = 6 = 3 \cdot 2$ .

5何なにが保存ほぞんされるか

剰余類じょうよるいに分わけると、個々ここの元げんではなく、部分群ぶぶんぐんだけずれたものを同おなじ箱はことして見みる。部分群ぶぶんぐんの大おおきさは各かく箱はこで保存ほぞんされる。これにより、有限群ゆうげんぐんの位数いすうが部分群ぶぶんぐんの位数いすうで割わり切きれることが分わかる。

5What is preserved

When a group is divided into cosets剰余類じょうよるい, we no longer look at individual elements, but at boxes consisting of elements shifted by a subgroup部分群ぶぶんぐん. The size of the subgroup部分群ぶぶんぐん is preserved in every box. This shows that, in a finite group, the order位数いすう of a subgroup部分群ぶぶんぐん divides the order位数いすう of the group.

6商群しょうぐんへの注意ちゅうい

剰余類じょうよるいの集合しゅうごうはいつでも作つくれる。しかし、剰余類じょうよるいどうしの積せきで群ぐんを作つくれるとは限かぎらない。商群しょうぐんを作つくるには、部分群ぶぶんぐんが正規部分群せいきぶぶんぐんである必要ひつようがある。

data/lecture/math/abstract-algebra/normal-subgroups-and-quotient-groups.lecture.n.md

6Warning about quotient groups商群しょうぐん

The set of cosets剰余類じょうよるい can always be formed. However, it is not always possible to make that set into a group by multiplying cosets剰余類じょうよるい. To build a quotient group商群しょうぐん, the subgroup部分群ぶぶんぐん must be a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

data/lecture/math/abstract-algebra/normal-subgroups-and-quotient-groups.lecture.n.md

7証明しょうめい補足ほそく：剰余類じょうよるいの分割ぶんかつとラグランジュの定理ていり

$H [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ とする。左ひだり剰余類じょうよるい $a H$ と $b H$ は、交まじわらないか、完全かんぜんに一致いっちする。

まず左剰余類ひだりじょうよるい全体ぜんたいが $G$ を覆おおうことを確認かくにんする。任意にんいの $g \in G$ について、単位元たんいげん $e \in H$ だから $g = g e \in g H$ である。

証明しょうめいする。 $a H \cap b H \neq [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"varnothing\")")]$ とし、 $x \in a H \cap b H$ を取とる。すると $x = a h_{1} = b h_{2}$ となる $h_{1}, h_{2} \in H$ が存在そんざいする。ここから

b^{- 1} a = h_{2} h_{1^{- 1}} \in H

である。任意にんいの $a h \in a H$ について、

a h = b (b^{- 1} a) h

であり、 $(b^{- 1} a) h \in H$ だから $a h \in b H$ である。よって $a H \subseteq b H$ である。同おなじ議論ぎろんで $b H \subseteq a H$ も従したがうので $a H = b H$ である。

また、写像しゃぞう

H \to a H, h \mapsto a h

は全単射ぜんたんしゃである。全射ぜんしゃは $a H$ の定義ていぎから従したがう。単射たんしゃは、 $a h_{1} = a h_{2}$ なら左ひだりから $a^{- 1}$ を掛かけて $h_{1} = h_{2}$ となることから従したがう。ここでは $a^{- 1}$ が存在そんざいすること、つまり $G$ が群ぐんであることを使つかっている。

したがって、有限群ゆうげんぐん $G$ では、 $G$ は同おなじ大おおきさの左ひだり剰余類じょうよるいに分割ぶんかつされる。左ひだり剰余類じょうよるいの個数こすうを $[G : H]$ とすれば

| G | = [G : H] | H |

である。これがラグランジュの定理ていりLagrange's theorem である。

7Proof supplement: coset剰余類じょうよるい partitions and Lagrange's theorem

Let $H [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ . Two left cosets剰余類じょうよるい $a H$ and $b H$ are either disjoint or exactly equal.

First verify that the left cosets cover $G$ . For every $g \in G$ , the identity $e$ lies in $H$ , so $g = g e \in g H$ .

Proof. Suppose $a H \cap b H \neq [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"varnothing\")")]$ , and take $x \in a H \cap b H$ . Then there exist $h_{1}, h_{2} \in H$ such that $x = a h_{1} = b h_{2}$ . From this,

b^{- 1} a = h_{2} h_{1^{- 1}} \in H

For any $a h \in a H$ ,

a h = b (b^{- 1} a) h

and since $(b^{- 1} a) h \in H$ , we have $a h \in b H$ . Thus $a H \subseteq b H$ . The same argument gives $b H \subseteq a H$ , so $a H = b H$ .

Also, the map

H \to a H, h \mapsto a h

is a bijection. Surjectivity follows from the definition定義ていぎ of $a H$ . Injectivity follows because if $a h_{1} = a h_{2}$ , then multiplying by $a^{- 1}$ from the left gives $h_{1} = h_{2}$ . This uses the existence of $a^{- 1}$ , that is, it uses that $G$ is a group.

Therefore, in a finite group $G$ , the group is partitioned into left cosets剰余類じょうよるい of equal size. If the number of left cosets剰余類じょうよるい is $[G : H]$ , then

| G | = [G : H] | H |

This is Lagrange's theoremラグランジュの定理ていり.

8系けい：元げんの位数いすうは群ぐんの位数いすうを割わり切きる

元げん $g$ の位数いすうorderを、巡回部分群じゅんかいぶぶんぐん $⟨ g ⟩$ の元げんの個数こすう $| ⟨ g ⟩ |$ と定さだめる。有限群ゆうげんぐん $G$ の元げん $g$ について、ラグランジュの定理ていりより、

| ⟨ g ⟩ | ∣ | G |

である。 $| ⟨ g ⟩ |$ は $g$ の位数いすうなので、有限群ゆうげんぐんでは各かく元げんの位数いすうが群ぐんの位数いすうを割わり切きる。

特とくに、 $| G | = p$ が素数そすうなら、単位元たんいげんでない元げん $g$ の位数いすうは 1 ではなく、 $p$ を割わり切きるので $p$ である。したがって $G = ⟨ g ⟩$ であり、位数いすうが素数そすうの群ぐんは巡回群じゅんかいぐんである。

8Corollary: the order位数いすう of an element divides the order位数いすう of the group

Define the order位数いすう of an element $g$ to be the number $| ⟨ g ⟩ |$ of elements in the cyclic subgroup it generates. For an element $g$ of a finite group $G$ , Lagrange's theorem gives

| ⟨ g ⟩ | ∣ | G |

The number $| ⟨ g ⟩ |$ is the order位数いすう of $g$ , so in a finite group, the order位数いすう of every element divides the order位数いすう of the group.

In particular, if $| G | = p$ is prime and $g$ is not the identity, then the order位数いすう of $g$ is not 1 and must divide $p$ , so it is $p$ . Hence $G = ⟨ g ⟩$ , and every group of prime order位数いすう is cyclic.

9演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/cosets-normal-subgroups-and-quotient-groups.exercise.n.md

9Exercise link

data/exercise/math/abstract-algebra/cosets-normal-subgroups-and-quotient-groups.exercise.n.md

10まとめ

群ぐんの剰余類じょうよるいは、部分群ぶぶんぐんを基準きじゅんに群ぐんを同おなじ大おおきさの箱はこへ分わける方法ほうほうである。有限群ゆうげんぐんでは、部分群ぶぶんぐんの位数いすうと各元かくげんの位数いすうは群ぐんの位数いすうを割わり切きり、素数位数そすういすうの群ぐんは巡回群じゅんかいぐんになる。商群しょうぐんを作つくるには、さらに正規性せいきせいが必要ひつようである。

10Summary

A group coset剰余類じょうよるい divides a group into equally sized parts using a subgroup. In a finite group, the orders of subgroups and individual elements divide the order of the group, and every group of prime order is cyclic. Constructing a quotient group additionally requires normality.