剰余類じょうよるいcoset・正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroup・商群しょうぐんquotient group 基本きほん演習えんしゅう

cosets剰余類じょうよるい, normal subgroups正規部分群せいきぶぶんぐん, and quotient groups商群しょうぐん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2取とり組くむ順序じゅんじょ

「剰余類じょうよるいとラグランジュの定理ていり」の後あとは問題もんだい1・2・4と、剰余類じょうよるいによる分割ぶんかつの証明演習しょうめいえんしゅうに取とり組くめる。「正規部分群せいきぶぶんぐんと商群しょうぐん」の後あとに問題もんだい3へ進すすむ。このページの prerequisites は全問題ぜんもんだいに取とり組くむための最終到達点さいしゅうとうたつてんを表あらわす。

2Suggested order

After “Cosets and Lagrange's theorem,” complete Problems 1, 2, and 4 and the proof exercise on partitioning by cosets. After “Normal subgroups and quotient groups,” continue with Problem 3. The page prerequisites describe what is needed to complete the whole page.

3関連かんれん演習えんしゅう

3Related exercises

4問題もんだい1：剰余類じょうよるいcosetを求もとめる

$$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんsubgroup $$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\} について、$$\left[1\right]+H$$[1]+H を求もとめよ。

4Problem 1: find a coset剰余類じょうよるい

For the subgroup部分群ぶぶんぐん $$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\} of $$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+), find $$\left[1\right]+H$$[1]+H.

4.1解答かいとう

である。

4.1Answer

4.2解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetは、部分群ぶぶんぐんsubgroup全体ぜんたいを一ひとつの元げんelementでずらした集合しゅうごうsetである。

4.2Explanation

A coset剰余類じょうよるい is the set obtained by shifting the whole subgroup部分群ぶぶんぐん by one element.

5問題もんだい2：ラグランジュの定理ていりLagrange's theoremを使つかう

位数いすうorder 12 の有限群ゆうげんぐんfinite groupに、位数いすうorder 5 の部分群ぶぶんぐんsubgroupは存在そんざいしうるか。

5Problem 2: use Lagrange's theoremラグランジュの定理

Can a finite group of order位数いすう 12 have a subgroup部分群ぶぶんぐん of order位数いすう 5?

5.1解答かいとう

存在そんざいしない。ラグランジュの定理ていりLagrange's theoremにより、部分群ぶぶんぐんsubgroupの位数いすうorderは群ぐんgroupの位数いすうorderを割わり切きる必要ひつようがある。しかし 5 は 12 を割わり切きらない。

5.1Answer

No. By Lagrange's theoremラグランジュの定理, the order位数いすう of a subgroup部分群ぶぶんぐん must divide the order位数いすう of the group. But 5 does not divide 12.

5.2解説かいせつ

ラグランジュの定理ていりLagrange's theoremは存在そんざい可能性かのうせいを絞しぼる定理ていりである。割わり切きることは必要ひつよう条件じょうけんnecessary conditionであり、十分じゅうぶん条件じょうけんsufficient conditionではない。

5.2Explanation

Lagrange's theoremラグランジュの定理 narrows down possible subgroup部分群ぶぶんぐん orders. Divisibility is a necessary condition必要条件ひつようじょうけん, not a sufficient condition十分条件じゅうぶんじょうけん.

6問題もんだい3：商群しょうぐんquotient groupを作つくれる条件じょうけん

部分群ぶぶんぐんsubgroup $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G について、剰余類じょうよるいcosetの積せき $$\left(aN\right)\left(bN\right)=abN$$(aN)(bN)=abN が代表元だいひょうげんによらず定さだまるための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんを述のべ、両方向りょうほうこうを証明しょうめいせよ。

6Problem 3: condition for forming a quotient group商群しょうぐん

For a subgroup $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G, state the necessary and sufficient condition for the coset product $$\left(aN\right)\left(bN\right)=abN$$(aN)(bN)=abN to be independent of representatives, and prove both directions.

6.1解答かいとう

$$N$$N が正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroupであることが必要十分ひつようじゅうぶんである。

まず $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G とし、$$aN=a^{\prime }N$$aN=a'N、$$bN=b^{\prime }N$$bN=b'N とする。ある $$n_1,n_2\in N$$n_1,n_2\in N によって $$a^{\prime }=a{n}_1$$a'=an_1、$$b^{\prime }=b{n}_2$$b'=bn_2 と書かけるので、

である。正規性せいきせいより $$\left(b^{-1}{n}_{1}b\right)n_2\in N$$(b^{-1}n_1b)n_2\in N だから、$$a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$$a'b'N=abN である。

逆ぎゃくに積せきが代表元だいひょうげんによらず定さだまるとする。任意にんいの $$g\in G$$g\in G、$$n\in N$$n\in N について $$\left(gn\right)N=gN$$(gn)N=gN なので、$$g^{-1}N$$g^{-1}N を掛かけた結果けっかも等ひとしく、

である。したがって $$gn{g}^{-1}\in N$$gng^{-1}\in N であり、$$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G である。

6.1Answer

The necessary and sufficient condition is that $$N$$N be a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん.

First suppose $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G and let $$aN=a^{\prime }N$$aN=a'N and $$bN=b^{\prime }N$$bN=b'N. Write $$a^{\prime }=a{n}_1$$a'=an_1 and $$b^{\prime }=b{n}_2$$b'=bn_2 with $$n_1,n_2\in N$$n_1,n_2\in N. Then

Normality gives $$\left(b^{-1}{n}_{1}b\right)n_2\in N$$(b^{-1}n_1b)n_2\in N, so $$a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$$a'b'N=abN.

Conversely, suppose the product is independent of representatives. For arbitrary $$g\in G$$g\in G and $$n\in N$$n\in N, we have $$\left(gn\right)N=gN$$(gn)N=gN. Multiplying these equal cosets by $$g^{-1}N$$g^{-1}N must give the same result, so

Hence $$gn{g}^{-1}\in N$$gng^{-1}\in N, and therefore $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G.

6.2解説かいせつ

正規性せいきせいは積せきが代表元だいひょうげんによらず定さだまることを保証ほしょうし、逆ぎゃくにその代表元独立性だいひょうげんどくりつせいから共役きょうやく $$gn{g}^{-1}$$gng^{-1} が $$N$$N に残のこることを導みちびける。

6.2Explanation

Normality makes the product well-defined; conversely, well-definedness forces $$gn{g}^{-1}\in N$$gng^{-1}\in N and hence normality.

7証明しょうめい演習えんしゅう：剰余類じょうよるいcosetによる分割ぶんかつ

7Proof exercise: partition into cosets剰余類じょうよるい

7.1問題もんだい

$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$H\le G の左ひだり剰余類じょうよるいcosetが $G$G を分割ぶんかつすることを証明しょうめいせよ。

7.1Problem

Prove that the left cosets剰余類じょうよるい of $$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$H\le G partition $$G$$G.

7.2解答かいとう

単位元たんいげん $$e\in H$$e\in H なので、任意にんいの $g\in G$g\in G は $g=ge\in gH$g=ge\in gH であり、左ひだり剰余類じょうよるいcosetの合併がっぺいで $G$G は覆おおわれる。もし $aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$aH\cap bH\ne\varnothing なら、ある $x$x について $x=a{h}_1=b{h}_2$x=ah_1=bh_2 である。すると $b^{-1}a=h_2{h}_{1^{-1}}\in H$b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H である。任意にんいの $$ah\in aH$$ah\in aH について

なので $$aH\subseteq bH$$aH\subseteq bH である。同おなじ議論ぎろんで $$bH\subseteq aH$$bH\subseteq aH も従したがい、$$aH=bH$$aH=bH となる。よって交まじわる二ふたつの類るいは一致いっちする。

7.2Answer

Since the identity $$e$$e lies in $$H$$H, every $$g\in G$$g\in G satisfies $$g=ge\in gH$$g=ge\in gH, so the union of the left cosets剰余類じょうよるい covers $$G$$G. If $$aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$aH\cap bH\ne\varnothing, then for some $$x$$x we have $$x=a{h}_1=b{h}_2$$x=ah_1=bh_2. Then $$b^{-1}a=h_2{h}_{1^{-1}}\in H$$b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H. For every $$ah\in aH$$ah\in aH,

so $$aH\subseteq bH$$aH\subseteq bH. The same argument gives $$bH\subseteq aH$$bH\subseteq aH, and hence $$aH=bH$$aH=bH. Thus any two cosets剰余類じょうよるい that intersect are equal.

7.3解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetは集合しゅうごうsetとしてはいつも分割ぶんかつを作つくるが、積せきを入いれて群ぐんgroupにするには正規性せいきせいが必要ひつようである。

7.3Explanation

Cosets always form a partition as sets, but normality is needed to put a group operation on the set of cosets剰余類じょうよるい.

8問題もんだい4：ラグランジュの定理ていりから元げんの位数いすうへ

有限群ゆうげんぐん $$G$$G の元げん $$g$$g について、$$g$$g の位数いすうが $$\left|G\right|$$|G| を割わり切きることを証明しょうめいせよ。さらに、$$\left|G\right|=p$$|G|=p が素数そすうなら $$G$$G が巡回群じゅんかいぐんであることを示しめせ。

8Problem 4: from Lagrange's theorem to element order

For an element $$g$$g of a finite group $$G$$G, prove that the order of $$g$$g divides $$\left|G\right|$$|G|. Then show that if $$\left|G\right|=p$$|G|=p is prime, the group $$G$$G is cyclic.

8.1解答かいとう

$$g$$g が生成せいせいする $$⟨g⟩$$\langle g\rangle は $$G$$G の部分群ぶぶんぐんであり、$$g$$g の位数いすうは $$|⟨g⟩|$$|\langle g\rangle| である。ラグランジュの定理ていりをこの部分群ぶぶんぐんに適用てきようすると、

を得える。

$$\left|G\right|=p$$|G|=p が素数そすうなら、単位元たんいげんでない $$g\in G$$g\in G を取とる。$$g$$g の位数いすうは 1 ではなく $$p$$p を割わり切きるので、$$p$$p である。したがって $$|⟨g⟩|=\left|G\right|$$|\langle g\rangle|=|G| であり、$$⟨g⟩=G$$\langle g\rangle=G となる。よって $$G$$G は巡回群じゅんかいぐんである。

8.1Answer

The subgroup $$⟨g⟩$$\langle g\rangle generated by $$g$$g is a subgroup of $$G$$G, and the order of $$g$$g is $$|⟨g⟩|$$|\langle g\rangle|. Applying Lagrange's theorem to this subgroup gives

If $$\left|G\right|=p$$|G|=p is prime, choose a nonidentity element $$g\in G$$g\in G. Its order is not 1 and divides $$p$$p, so its order is $$p$$p. Hence $$|⟨g⟩|=\left|G\right|$$|\langle g\rangle|=|G| and therefore $$⟨g⟩=G$$\langle g\rangle=G. Thus $$G$$G is cyclic.