準同型じゅんどうけいhomomorphismと同型どうけいisomorphism 基本きほん演習えんしゅう

date2026-06-06document_iddoc_490066d11a4ecceed23c93e1b9ef9035description群準同型、環準同型、核、像、同型、第一同型定理を確認する基本演習。prerequisites[群準同型/ぐんじゅんどうけい]と[同型/どうけい] / [準同型/じゅんどうけい]の[基本/きほん] / [第一同型定理/だいいちどうけいていり]の[見取図/みとりず]type[問題/もんだい][演習/えんしゅう]content_typeexercisestatusactive

mathabstract-algebrahomomorphismexercise

homomorphisms準同型じゅんどうけい and isomorphisms同型どうけい: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

data/lecture/math/abstract-algebra/group-homomorphisms-and-isomorphisms.lecture.n.md data/lecture/math/abstract-algebra/homomorphism-basics.lecture.n.md data/lecture/math/abstract-algebra/homomorphism-theorems-overview.lecture.n.md

1Corresponding lectures

data/lecture/math/abstract-algebra/group-homomorphisms-and-isomorphisms.lecture.n.md data/lecture/math/abstract-algebra/homomorphism-basics.lecture.n.md data/lecture/math/abstract-algebra/homomorphism-theorems-overview.lecture.n.md

2Related exercises

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3順序じゅんじょ上じょうの注意ちゅうい

問題もんだい1・2 は「群準同型ぐんじゅんどうけいと同型どうけい」までで取とり組くめる。問題もんだい4 は「準同型じゅんどうけいの基本きほん」の後あとに、問題もんだい3 は「第一同型定理だいいちどうけいていりの見取みとり図ず」の後あとに扱あつかう。証明しょうめい演習えんしゅうでは、前まえに導入どうにゅうした部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうと正規部分群せいきぶぶんぐんを使つかう。

3Order note

Problems 1 and 2 can be attempted after "Group homomorphisms and isomorphisms." Problem 4 follows "Basics of homomorphisms," and Problem 3 follows "Overview of the first isomorphism theorem." The proof exercise uses the subgroup criterion and normal subgroups introduced earlier.

4問題もんだい1：群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismを確認かくにんする

$φ : Z \to Z / 5 Z$ を $φ (k) = [k]$ で定さだめる。これは加法かほうaddition群ぐんgroupの準同型じゅんどうけいhomomorphismか。

4Problem 1: check a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい

Define $φ : Z \to Z / 5 Z$ by $φ (k) = [k]$ . Is this a homomorphism準同型じゅんどうけい of additive groups?

4.1解答かいとう

準同型じゅんどうけいhomomorphismである。任意にんいの整数せいすう $a, b$ について

φ (a + b) = [a + b] = [a] + [b] = φ (a) + φ (b)

だからである。

4.1Answer

Yes. For any integers $a, b$ ,

φ (a + b) = [a + b] = [a] + [b] = φ (a) + φ (b)

4.2解説かいせつ

準同型じゅんどうけいhomomorphismでは、演算えんざんoperationしてから写うつすことと、写うつしてから演算えんざんoperationすることが一致いっちするかを見みる。

4.2Explanation

For a homomorphism準同型じゅんどうけい, we check whether operating first and then mapping gives the same result as mapping first and then operating.

5問題もんだい2：核かくkernelを求もとめる

問題もんだい1の準同型じゅんどうけいhomomorphismの核かくkernelを求もとめよ。

5Problem 2: find the kernel核かく

Find the kernel核かく of the homomorphism準同型じゅんどうけい in Problem 1.

5.1解答かいとう

核かくkernelは $[0]$ に送おくられる整数全体せいすうぜんたいである。

\ker φ = 5 Z

である。

5.1Answer

The kernel核かく is the set of all integers sent to $[0]$ .

\ker φ = 5 Z

5.2解説かいせつ

核かくkernelは潰つぶれる部分ぶぶんである。この例れいでは、5 の倍数ばいすうが 0 の剰余類じょうよるいに送おくられる。

5.2Explanation

The kernel核かく is the part that is collapsed. In this example, multiples of 5 are sent to the zero residue class.

6問題もんだい3：第一同型定理だいいちどうけいていりを使つかう

直積集合ちょくせきしゅうごう $Z / 6 Z \times Z / 4 Z$ に成分せいぶんごとの加法かほう

([a]_{6}, [b]_{4}) + ([c]_{6}, [d]_{4}) = ([a + c]_{6}, [b + d]_{4})

を入いれると群ぐんになる。この群ぐんへの群準同型ぐんじゅんどうけい

ψ : Z \to Z / 6 Z \times Z / 4 Z, k \mapsto ([k]_{6}, [k]_{4})

の核かくと像ぞうを求もとめ、第一同型定理だいいちどうけいていりが与あたえる同型どうけいを述のべよ。

6Problem 3: apply the first isomorphism同型どうけい theorem

Equip the Cartesian product $Z / 6 Z \times Z / 4 Z$ with componentwise addition:

([a]_{6}, [b]_{4}) + ([c]_{6}, [d]_{4}) = ([a + c]_{6}, [b + d]_{4}) .

This makes the product a group. For the group homomorphism

ψ : Z \to Z / 6 Z \times Z / 4 Z, k \mapsto ([k]_{6}, [k]_{4}),

find its kernel and image, and state the isomorphism supplied by the first isomorphism theorem.

6.1解答かいとう

$ψ (k) = ([0]_{6}, [0]_{4})$ となるのは 6 と 4 がともに $k$ を割わり切きるときである。したがって

\ker ψ = lcm (6, 4) Z = 12 Z .

像ぞうは $([1]_{6}, [1]_{4})$ が生成せいせいする巡回部分群じゅんかいぶぶんぐんである。また、整数せいすう $k, ℓ$ について

ψ (k) = ψ (ℓ) ⟺ 6 ∣ (k - ℓ) かつ 4 ∣ (k - ℓ) ⟺ 12 ∣ (k - ℓ)

である。したがって $ψ (0), \dots, ψ (11)$ は互たがいに異ことなり、任意にんいの $ψ (k)$ はそのいずれかに等ひとしいので、像ぞうはちょうど 12 個この元げんを持もつ。よって第一同型定理だいいちどうけいていりから

Z / 12 Z ≅ ⟨ ([1]_{6}, [1]_{4}) ⟩ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Z / 6 Z \times Z / 4 Z

を得える。

6.1Answer

The equality $ψ (k) = ([0]_{6}, [0]_{4})$ holds exactly when both 6 and 4 divide $k$ . Thus

\ker ψ = lcm (6, 4) Z = 12 Z .

The image is the cyclic subgroup generated by $([1]_{6}, [1]_{4})$ . For integers $k, ℓ$ ,

ψ (k) = ψ (ℓ) ⟺ 6 ∣ (k - ℓ) and 4 ∣ (k - ℓ) ⟺ 12 ∣ (k - ℓ) .

Thus $ψ (0), \dots, ψ (11)$ are distinct, and every $ψ (k)$ equals one of them. Hence the image has exactly 12 elements. The first isomorphism theorem therefore gives

Z / 12 Z ≅ ⟨ ([1]_{6}, [1]_{4}) ⟩ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Z / 6 Z \times Z / 4 Z .

6.2解説かいせつ

終域しゅういきは 24 元げんを持もつが、像ぞうはその半分はんぶんの 12 元げんだけである。第一同型定理だいいちどうけいていりは、核かくで潰つぶした群ぐんが終域全体しゅういきぜんたいではなく像ぞうと同型どうけいになることを具体的ぐたいてきに示しめす。

6.2Explanation

The codomain has 24 elements, but the image contains only 12. This example makes explicit that quotienting by the kernel produces the image, not necessarily the entire codomain.

7問題もんだい4：環準同型かんじゅんどうけいの核かくと像ぞう

写像しゃぞう

{ev}_{0} : Z [x] \to Z, f (x) \mapsto f (0)

が環準同型かんじゅんどうけいであることを示しめし、その核かくと像ぞうを求もとめよ。

7Problem 4: kernel and image of a ring homomorphism

Show that

{ev}_{0} : Z [x] \to Z, f (x) \mapsto f (0)

is a ring homomorphism, and find its kernel and image.

7.1解答かいとう

任意にんいの $f, g \in Z [x]$ について

{ev}_{0} (f + g) = f (0) + g (0), {ev}_{0} (f g) = f (0) g (0), {ev}_{0} (1) = 1

なので、 ${ev}_{0}$ は環準同型かんじゅんどうけいである。 $f (0) = 0$ であることは $f$ の定数項ていすうこうが 0 であることと同値どうちであり、そのとき $f (x) = x q (x)$ と書かける。したがって

\ker ({ev}_{0}) = x Z [x]

である。また、任意にんいの $n \in Z$ は定数多項式ていすうたこうしき $n$ の像ぞうなので、

Im ({ev}_{0}) = Z

である。

7.1Answer

For all $f, g \in Z [x]$ ,

{ev}_{0} (f + g) = f (0) + g (0), {ev}_{0} (f g) = f (0) g (0), {ev}_{0} (1) = 1,

so ${ev}_{0}$ is a ring homomorphism. The condition $f (0) = 0$ says exactly that the constant term of $f$ is 0, in which case $f (x) = x q (x)$ . Therefore

\ker ({ev}_{0}) = x Z [x] .

Every $n \in Z$ is the image of the constant polynomial $n$ , so

Im ({ev}_{0}) = Z .

7.2解説かいせつ

評価写像ひょうかしゃぞうは、多項式たこうしきの演算えんざんを値あたいの演算えんざんへ移うつす。核かく $x Z [x]$ は 0 を根こんに持もつ多項式たこうしき全体ぜんたいであり、環準同型かんじゅんどうけいの核かくがイデアルになる具体例ぐたいれいである。

7.2Explanation

An evaluation map carries polynomial operations to operations on values. Its kernel $x Z [x]$ is the set of polynomials having 0 as a root, providing a concrete example of a ring-homomorphism kernel that is an ideal.

8証明しょうめい演習えんしゅう：核かくkernelと単射たんしゃinjectionの関係かんけい

8Proof exercise: the relation between kernel核かく and injectivity

8.1問題もんだい

$φ : G \to H$ を群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismとする。 $\ker φ$ が正規部分群せいきぶぶんぐんであること、また $φ$ が単射たんしゃinjectionであることと $\ker φ = {e_{G}}$ が同値どうちであることを証明しょうめいせよ。

8.1Problem

Let $φ : G \to H$ be a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい. Prove that $\ker φ$ is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん, and prove that $φ$ is injective単射たんしゃ if and only if $\ker φ = {e_{G}}$ .

8.2解答かいとう

$φ (e_{G}) = e_{H}$ なので $e_{G} \in \ker φ$ であり、核かくは空からではない。また、 $a, b \in \ker φ$ なら

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H}

なので $a b^{- 1} \in \ker φ$ であり、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうから部分群ぶぶんぐんである。さらに $g \in G$ 、 $a \in \ker φ$ に対たいして

φ (g a g^{- 1}) = φ (g) φ (a) φ (g)^{- 1} = e_{H}

なので核かくkernelは正規せいきである。

$φ$ が単射たんしゃinjectionで $g \in \ker φ$ なら、 $φ (g) = e_{H} = φ (e_{G})$ から $g = e_{G}$ である。よって $\ker φ = {e_{G}}$ である。逆ぎゃくに $\ker φ = {e_{G}}$ とし、 $φ (g_{1}) = φ (g_{2})$ とする。このとき $φ (g_{1} g_{2^{- 1}}) = e_{H}$ なので $g_{1} g_{2^{- 1}} = e_{G}$ である。よって $g_{1} = g_{2}$ である。

8.2Answer

Since $φ (e_{G}) = e_{H}$ , we have $e_{G} \in \ker φ$ , so the kernel is nonempty. If $a, b \in \ker φ$ , then

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H}

so $a b^{- 1} \in \ker φ$ . By the subgroup criterion, the kernel is a subgroup. Also, for $g \in G$ and $a \in \ker φ$ ,

φ (g a g^{- 1}) = φ (g) φ (a) φ (g)^{- 1} = e_{H}

so the kernel核かく is normal.

If $φ$ is injective and $g \in \ker φ$ , then $φ (g) = e_{H} = φ (e_{G})$ implies $g = e_{G}$ . Hence $\ker φ = {e_{G}}$ . Conversely, suppose $\ker φ = {e_{G}}$ and $φ (g_{1}) = φ (g_{2})$ . Then $φ (g_{1} g_{2^{- 1}}) = e_{H}$ , so $g_{1} g_{2^{- 1}} = e_{G}$ . Hence $g_{1} = g_{2}$ .

8.3解説かいせつ

核かくkernelは準同型じゅんどうけいhomomorphismで潰つぶれる部分ぶぶんである。核かくkernelが単位元たんいげんidentity elementだけなら、異ことなる元もとが同おなじ行いき先さきに潰つぶれない。

8.3Explanation

The kernel核かく is the part collapsed by the homomorphism準同型じゅんどうけい. If the kernel核かく consists only of the identity element単位元たんいげん, then two different elements cannot collapse to the same image像ぞう.