第一同型定理だいいちどうけいていりfirst isomorphism theoremの見取みとり図ず

第一同型定理だいいちどうけいていりの中心ちゅうしんにある考かんがえは単純たんじゅんである。準同型じゅんどうけいで同おなじ値あたいに潰つぶれる元げんを先さきに同一視どういつしすると、残のこった構造こうぞうは像ぞうと同おなじになる。「第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていり」とよぶ流儀りゅうぎもあるが、この教材きょうざいでは第一同型定理だいいちどうけいていりに統一とういつする。

この見方みかたは、群ぐん、環かん、線型代数せんけいだいすうに共通きょうつうしている。

線型代数せんけいだいすうは類似るいじを示しめすための接続せつぞくであり、このページの証明しょうめいでは群ぐんと環かんで導入どうにゅうした核かく・像ぞう・商しょうだけを使つかう。

Overview of the first isomorphism theorem第一同型定理だいいちどうけいていり

The central idea of the first isomorphism theorem第一同型定理だいいちどうけいていり is simple. If elements that collapse to the same value under a homomorphism are first identified, the remaining structure is the same as the image. This result is also called the first homomorphism theorem; this material consistently uses “first isomorphism theorem.”

This viewpoint is common to groups群ぐん, rings環かん, and linear algebra.

Linear algebra is included only as an analogy. The proofs on this page use only kernels, images, and quotients already introduced for groups and rings.

1第一同型定理だいいちどうけいていりの形かたち

群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H に対たいして、

が成立せいりつする。

環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S に対たいしても、

が成立せいりつする。

式しきは同おなじ形かたちである。違ちがうのは、群ぐんでは核かくが正規部分群せいきぶぶんぐんであり、環かんでは核かくがイデアルである点てんである。

1Form of the first isomorphism同型どうけい theorem

For a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H,

holds.

For a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S, the same form holds:

The formula has the same shape. The difference is that in group theory the kernel核かく is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん, while in ring theory the kernel核かく is an idealイデアル.

2何故なぜそうなるか

群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H では、

である。したがって、二ふたつの元げんが同おなじ像ぞうを持もつことと、同おなじ左剰余類ひだりじょうよるい $$g\ker \phi$$g\ker\varphi に属ぞくすることは同値どうちである。そこで、

という剰余類じょうよるいを、

へ送おくる写像しゃぞうは、代表元だいひょうげんの選えらび方かたによらず定さだまる。

環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S でも、

である。したがって、二ふたつの元げんが同おなじ像ぞうを持もつことと、同おなじ加法剰余類かほうじょうよるい $$r+\ker \phi$$r+\ker\varphi に属ぞくすることは同値どうちである。よって $$r+\ker \phi \mapsto \phi \left(r\right)$$r+\ker\varphi\mapsto\varphi(r) も代表元だいひょうげんによらず定さだまる。

2Why this happens

For a group homomorphism $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H,

Thus two elements have the same image exactly when they lie in the same left coset $$g\ker \phi$$g\ker\varphi. Therefore the map sending the coset剰余類じょうよるい

to

is independent of the choice of representative.

For a ring homomorphism $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S,

Thus two elements have the same image exactly when they lie in the same additive coset $$r+\ker \phi$$r+\ker\varphi. Therefore $$r+\ker \phi \mapsto \phi \left(r\right)$$r+\ker\varphi\mapsto\varphi(r) is also independent of the choice of representative.

3線型代数せんけいだいすうとの対応たいおう

線型せんけい写像しゃぞう $$T:V\to W$$T:V\to W では、核かくは

であり、像ぞうは

である。核かく方向ほうこうを潰つぶすと、残のこる自由度じゆうどが像ぞうになる。この直感ちょっかんは、階数かいすう・退化たいか・商空間しょうくうかんの理解りかいにつながる。

この対応たいおうは見通みとおしであり、線型せんけい写像しゃぞうの定理ていりを使つかって第一同型定理だいいちどうけいていりを証明しょうめいしているわけではない。

3Correspondence with linear algebra

For a linear map $$T:V\to W$$T:V\to W, the kernel核かく is

and the image像ぞう is

Collapsing the kernel核かく directions leaves the degrees of freedom that become the image像ぞう. This intuition connects to rank, degeneracy, and quotient spaces.

This correspondence is only a preview; the first isomorphism theorem is not being proved by using theorems about linear maps.

4何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

第一同型定理だいいちどうけいていりでは、核かくの中なかの違ちがいを潰つぶす。変かわるのは元げんの識別しきべつの細こまかさである。保存ほぞんされるのは、準同型じゅんどうけいによって実際じっさいに観測かんそくできる構造こうぞう、つまり像ぞうである。

4What changes and what is preserved

In the first isomorphism theorem, differences inside the kernel核かく are collapsed. What changes is the fineness with which elements are distinguished. What is preserved is the structure actually observable through the homomorphism, namely the image.

5証明しょうめい補足ほそく：第一同型定理だいいちどうけいていりの証明しょうめい

$\phi :G\to H$\varphi:G\to H を群準同型ぐんじゅんどうけいとする。第一同型定理だいいちどうけいていりfirst isomorphism theorem は

を主張しゅちょうする。

まず群ぐんの場合ばあいを証明しょうめいし、その後あとに環かんの場合ばあいを証明しょうめいする。

群準同型ぐんじゅんどうけいの核かくは正規部分群せいきぶぶんぐんなので、$$G/\ker \phi$$G/\ker\varphi は商群しょうぐんとして定義ていぎできる。

写像しゃぞう

を定義ていぎする。まず、この値あたいが剰余類じょうよるいの代表元だいひょうげんの取とり方かたによらないこと（well-defined）を示しめす。$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$g\ker\varphi=g'\ker\varphi なら $g^{-1}{g}^{\prime }\in \ker \phi$g^{-1}g'\in\ker\varphi である。したがって

であり、$\phi \left(g{)}^{-1}\phi \right(g^{\prime })=e$\varphi(g)^{-1}\varphi(g')=e だから $\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$\varphi(g)=\varphi(g') である。

つぎに $\mathrm{\Phi }$\Phi は準同型じゅんどうけいである。

である。全射ぜんしゃは像ぞうの定義ていぎから従したがう。単射たんしゃは、前まえに示しめした「核かくが単位元たんいげんだけなら単射たんしゃ」という判定法はんていほうを $$\mathrm{\Phi }$$\Phi に使つかえばよい。実際じっさい、$\mathrm{\Phi }\left(g\ker \phi \right)=e$\Phi(g\ker\varphi)=e なら $\phi \left(g\right)=e$\varphi(g)=e、つまり $g\in \ker \phi$g\in\ker\varphi なので $g\ker \phi =\ker \phi$g\ker\varphi=\ker\varphi となる。

よって $\mathrm{\Phi }$\Phi は同型どうけいであり、$G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$G/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi である。

次つぎに、$$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S を環準同型かんじゅんどうけいとする。環準同型かんじゅんどうけいの核かくは $$R$$R のイデアルなので、$$R/\ker \phi$$R/\ker\varphi は商環しょうかんとして定義ていぎできる。写像しゃぞう

を考かんがえる。$$r+\ker \phi =r^{\prime }+\ker \phi$$r+\ker\varphi=r'+\ker\varphi なら $$r-r^{\prime }\in \ker \phi$$r-r'\in\ker\varphi なので、

であり、$$\mathrm{\Psi }$$\Psi は well-defined である。剰余類じょうよるいの和わと積せきの定義ていぎから、

なので、$$\mathrm{\Psi }$$\Psi は環準同型かんじゅんどうけいである。全射ぜんしゃは像ぞうの定義ていぎから従したがう。また、$$\mathrm{\Psi }(r+\ker \phi )=\mathrm{\Psi }(r^{\prime }+\ker \phi )$$\Psi(r+\ker\varphi)=\Psi(r'+\ker\varphi) なら $$\phi (r-r^{\prime })=0$$\varphi(r-r')=0、すなわち $$r-r^{\prime }\in \ker \phi$$r-r'\in\ker\varphi なので、$$r+\ker \phi =r^{\prime }+\ker \phi$$r+\ker\varphi=r'+\ker\varphi である。したがって $$\mathrm{\Psi }$$\Psi は単射たんしゃでもあり、

を得える。どちらの証明しょうめいも、核かくで潰つぶしてから写うつすと、ちょうど像ぞうだけが残のこるという同おなじ構造こうぞうを表あらわしている。

5Proof supplement: proof証明しょうめい of the first isomorphism同型どうけい theorem

Let $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H be a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい. The first isomorphism theorem第一同型定理だいいちどうけいていり states that

We first prove the group case and then prove the ring case.

The kernel of a group homomorphism is a normal subgroup, so $$G/\ker \phi$$G/\ker\varphi is defined as a quotient group.

Define the map

First show that it is well-defined. If $$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$$g\ker\varphi=g'\ker\varphi, then $$g^{-1}{g}^{\prime }\in \ker \phi$$g^{-1}g'\in\ker\varphi. Hence

and $$\phi \left(g{)}^{-1}\phi \right(g^{\prime })=e$$\varphi(g)^{-1}\varphi(g')=e, so $$\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$$\varphi(g)=\varphi(g').

Next, $$\mathrm{\Phi }$$\Phi is a homomorphism準同型じゅんどうけい:

Surjectivity follows from the definition定義ていぎ of the image像ぞう. For injectivity, apply the previously proved criterion that a homomorphism is injective when its kernel contains only the identity. Indeed, if $$\mathrm{\Phi }\left(g\ker \phi \right)=e$$\Phi(g\ker\varphi)=e, then $$\phi \left(g\right)=e$$\varphi(g)=e, so $$g\in \ker \phi$$g\in\ker\varphi and therefore $$g\ker \phi =\ker \phi$$g\ker\varphi=\ker\varphi.

Thus $$\mathrm{\Phi }$$\Phi is an isomorphism同型どうけい, and $$G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$$G/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi.

Next let $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S be a ring homomorphism. Its kernel is an ideal of $$R$$R, so $$R/\ker \phi$$R/\ker\varphi is defined as a quotient ring. Consider

If $$r+\ker \phi =r^{\prime }+\ker \phi$$r+\ker\varphi=r'+\ker\varphi, then $$r-r^{\prime }\in \ker \phi$$r-r'\in\ker\varphi, so

Thus $$\mathrm{\Psi }$$\Psi is well-defined. By the definitions of addition and multiplication on residue classes,

so $$\mathrm{\Psi }$$\Psi is a ring homomorphism. Surjectivity follows from the definition of the image. If $$\mathrm{\Psi }(r+\ker \phi )=\mathrm{\Psi }(r^{\prime }+\ker \phi )$$\Psi(r+\ker\varphi)=\Psi(r'+\ker\varphi), then $$\phi (r-r^{\prime })=0$$\varphi(r-r')=0, so $$r-r^{\prime }\in \ker \phi$$r-r'\in\ker\varphi and hence $$r+\ker \phi =r^{\prime }+\ker \phi$$r+\ker\varphi=r'+\ker\varphi. Thus $$\mathrm{\Psi }$$\Psi is injective, and

Both proofs express the same structure: after collapsing the kernel and then mapping, exactly the image remains.

6演習えんしゅうリンク

6Exercise link

7まとめ

第一同型定理だいいちどうけいていりは、「核かくで割わると像ぞうになる」という定理ていりである。群ぐん、環かん、線型せんけい写像しゃぞうで同おなじ形かたちが現あらわれるため、抽象代数ちゅうしょうだいすうと線型代数せんけいだいすうを結むすぶ重要じゅうような見取みとり図ずになる。

7Summary

The first isomorphism同型どうけい theorem says that "quotienting by the kernel核かく gives the image像ぞう." The same form appears for groups, rings, and linear maps, making it an important overview that connects abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう with linear algebra.