準同型じゅんどうけいhomomorphismの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_3c1f28998382611f90145e3b03a52f40description準同型を、演算を保存する写像として群・環を横断して説明し、核・像・同型への接続を整理する。prerequisites群[準[同型/どうけい]/じゅんどうけい]と[同型/どうけい] / 環の基[本/ほん] / イデアルと[[商/しょう]環/しょうかん] / [整域/せいいき]・[[零/れい]因子/れいいんし]・[[多項[式/しき]/たこうしき]環/たこうしきかん]type講義content_typelecturestatusactive

mathabstract-algebrahomomorphismlecture

準同型じゅんどうけいhomomorphismは、演算えんざんoperationを保たもつ写像しゃぞうmapである。抽象代数ちゅうしょうだいすうabstract algebraでは、対象たいしょうそのものよりも、対象たいしょうどうしを構造こうぞうstructureを壊こわさずに移うつす写像しゃぞうmapが重要じゅうようになる。

線型代数せんけいだいすうで線型せんけい写像しゃぞうlinear mapが加法かほうadditionとスカラー倍ばいを保たもつように、抽象代数ちゅうしょうだいすうabstract algebraの準同型じゅんどうけいhomomorphismは群ぐんgroupや環かんringの演算えんざんoperationを保たもつ。

data/lecture/math/linear-algebra/linear-maps-and-matrices.lecture.n.md

この類推るいすいは見通みとおしであり、このページの定義ていぎと証明しょうめいでは、前まえに導入どうにゅうした群ぐん・環かん・写像しゃぞうだけを使つかう。

Basics of homomorphisms準同型じゅんどうけい

A homomorphism準同型じゅんどうけい is a map that preserves operations. In abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう, not only the objects themselves but also the maps that move between objects without breaking structure are important.

Just as a linear map線型写像せんけいしゃぞう in linear algebra preserves addition and scalar multiplication, a homomorphism準同型じゅんどうけい in abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう preserves the operations of groups or rings.

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This analogy is only a preview. The definitions and proofs on this page use only groups, rings, and maps introduced earlier.

1群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphism

群ぐんgroup $G, H$ の間あいだの写像しゃぞうmap $φ : G \to H$ が群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismであるとは、

φ (a b) = φ (a) φ (b)

を任意にんいの $a, b \in G$ について満みたすことである。

この条件じょうけんから、単位元たんいげんidentity elementと逆元ぎゃくげんも保存ほぞんされる。実際じっさい、

φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G})^{2}

の両辺りょうへんに $φ (e_{G})^{- 1}$ を掛かけると $φ (e_{G}) = e_{H}$ である。また、

e_{H} = φ (e_{G}) = φ (a a^{- 1}) = φ (a) φ (a^{- 1})

なので、 $φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}$ である。

1Group homomorphisms準同型じゅんどうけい

A map $φ : G \to H$ between groups $G, H$ is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい if, for all $a, b \in G$ , it satisfies

φ (a b) = φ (a) φ (b)

Identity elements and inverses follow from this condition. Indeed,

φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G})^{2},

and multiplying by $φ (e_{G})^{- 1}$ gives $φ (e_{G}) = e_{H}$ . Moreover,

e_{H} = φ (e_{G}) = φ (a a^{- 1}) = φ (a) φ (a^{- 1}),

so $φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}$ .

2環準同型かんじゅんどうけいring homomorphism

環かんring $R, S$ の間あいだの写像しゃぞうmap $φ : R \to S$ が環準同型かんじゅんどうけいring homomorphismであるとは、

φ (a + b) = φ (a) + φ (b)

φ (a b) = φ (a) φ (b)

を任意にんいの $a, b \in R$ について満みたし、さらに

φ (1_{R}) = 1_{S}

を満みたすことである。この教材きょうざいでは環かんが単位元たんいげんを持もつため、環準同型かんじゅんどうけいring homomorphismも単位元たんいげんを保たもつものを標準ひょうじゅんとする。

加法かほうの条件じょうけんから $φ (0_{R}) = 0_{S}$ と $φ (- a) = - φ (a)$ も従したがう。なぜなら、

φ (0_{R}) = φ (0_{R} + 0_{R}) = φ (0_{R}) + φ (0_{R})

より $φ (0_{R}) = 0_{S}$ であり、

0_{S} = φ (0_{R}) = φ (a + (- a)) = φ (a) + φ (- a)

より $φ (- a) = - φ (a)$ だからである。

2Ring homomorphisms準同型じゅんどうけい

A map $φ : R \to S$ between rings $R, S$ is a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい if, for all $a, b \in R$ , it satisfies

φ (a + b) = φ (a) + φ (b)

φ (a b) = φ (a) φ (b)

and also

φ (1_{R}) = 1_{S}

In this material, rings have identity elements, and ring homomorphisms preserve them by default.

The additive condition also implies $φ (0_{R}) = 0_{S}$ and $φ (- a) = - φ (a)$ . Indeed,

φ (0_{R}) = φ (0_{R} + 0_{R}) = φ (0_{R}) + φ (0_{R})

gives $φ (0_{R}) = 0_{S}$ , while

0_{S} = φ (0_{R}) = φ (a + (- a)) = φ (a) + φ (- a)

gives $φ (- a) = - φ (a)$ .

3核かくkernelと像ぞうimage

準同型じゅんどうけいhomomorphismの核かくkernelは、単位元たんいげんidentity elementまたは 0 に潰つぶれる部分ぶぶんである。

群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismでは

\ker φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}}

環準同型かんじゅんどうけいring homomorphismでは

\ker φ = {r \in R ∣ φ (r) = 0_{S}}

である。

写像しゃぞうmap $φ : A \to B$ の像ぞうimageは、実際じっさいに到達とうたつする $B$ の元げん全体ぜんたいである。

Im φ = {φ (x) ∣ x \in A} \subseteq B

3Kernel and image像ぞう

The kernel核かく of a homomorphism準同型じゅんどうけい is the part collapsed to the identity element単位元たんいげん or to 0.

For a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい,

\ker φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}}

For a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい,

\ker φ = {r \in R ∣ φ (r) = 0_{S}}

For a map $φ : A \to B$ , the image像ぞう is the set of all elements of $B$ actually reached:

Im φ = {φ (x) ∣ x \in A} \subseteq B .

4何なにを変かえ、何なにを保存ほぞんするか

準同型じゅんどうけいhomomorphismでは、元げんの名前なまえや表示ひょうじは変かわる。しかし、演算えんざんoperationしてから写うつすことと、写うつしてから演算えんざんoperationすることが一致いっちする。この意味いみで、準同型じゅんどうけいhomomorphismは構造こうぞうstructureを保たもつ写像しゃぞうmapである。

同型どうけいisomorphismは、可逆かぎゃくな準同型じゅんどうけいhomomorphismである。同型どうけいisomorphismなら、構造こうぞうstructureは完全かんぜんに保存ほぞんされる。

特とくに、全単射ぜんたんしゃな環準同型かんじゅんどうけいを環同型かんどうけいring isomorphismという。逆写像ぎゃくしゃぞうも加法かほう・乗法じょうほう・単位元たんいげんを保たもつ。実際じっさい、 $y = φ (a)$ 、 $z = φ (b)$ と書かけば、

φ^{- 1} (y + z) = φ^{- 1} (φ (a + b)) = a + b = φ^{- 1} (y) + φ^{- 1} (z),

φ^{- 1} (y z) = φ^{- 1} (φ (a b)) = a b = φ^{- 1} (y) φ^{- 1} (z),

かつ $φ^{- 1} (1_{S}) = φ^{- 1} (φ (1_{R})) = 1_{R}$ である。

4What changes and what is preserved

In a homomorphism準同型じゅんどうけい, the names or representations of elements may change. However, operating first and then mapping gives the same result as mapping first and then operating. In this sense, a homomorphism準同型じゅんどうけい is a structure-preserving map.

An isomorphism同型どうけい is an invertible homomorphism準同型じゅんどうけい. When an isomorphism同型どうけい exists, the structure is completely preserved.

In particular, a bijective ring homomorphism is called a ring isomorphism環同型かんどうけい. Its inverse also preserves addition, multiplication, and the identity. Indeed, writing $y = φ (a)$ and $z = φ (b)$ gives

φ^{- 1} (y + z) = φ^{- 1} (φ (a + b)) = a + b = φ^{- 1} (y) + φ^{- 1} (z),

φ^{- 1} (y z) = φ^{- 1} (φ (a b)) = a b = φ^{- 1} (y) φ^{- 1} (z),

and $φ^{- 1} (1_{S}) = φ^{- 1} (φ (1_{R})) = 1_{R}$ .

5例れい：評価写像ひょうかしゃぞうevaluation mapは環準同型かんじゅんどうけいring homomorphism

体たいfield $F$ と $c \in F$ に対たいして、多項式環たこうしきかんpolynomial ring $F [x]$ から $F$ への写像しゃぞうmap

{ev}_{c} : F [x] \to F, f (x) \mapsto f (c)

を評価写像ひょうかしゃぞうevaluation mapという。これは環準同型かんじゅんどうけいring homomorphismである。なぜなら

{ev}_{c} (f + g) = f (c) + g (c)

かつ

{ev}_{c} (f g) = f (c) g (c)

に加くわえて ${ev}_{c} (1) = 1$ が成立せいりつするからである。

この写像しゃぞうmapの核かくkernelは、 $c$ を根こんに持もつ多項式たこうしき全体ぜんたいである。つまり

\ker ({ev}_{c}) = {f (x) \in F [x] ∣ f (c) = 0}

である。核かくkernelがイデアルidealになることは、準同型じゅんどうけいhomomorphismと商環しょうかんquotient ringが結むすびつく基本例きほんれいである。

5Example: evaluation map評価写像ひょうかしゃぞうs are ring homomorphisms環準同型かんじゅんどうけい

For a field体たい $F$ and $c \in F$ , the map from the polynomial ring多項式環たこうしきかん $F [x]$ to $F$ defined by

{ev}_{c} : F [x] \to F, f (x) \mapsto f (c)

is called the evaluation map評価写像ひょうかしゃぞう. It is a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい because

{ev}_{c} (f + g) = f (c) + g (c)

and

{ev}_{c} (f g) = f (c) g (c)

hold, and ${ev}_{c} (1) = 1$ .

The kernel核かく of this map is the set of all polynomials that have $c$ as a root:

\ker ({ev}_{c}) = {f (x) \in F [x] ∣ f (c) = 0}

The fact that this kernel核かく is an idealイデアル is a basic example connecting homomorphisms準同型じゅんどうけい with quotient rings商環しょうかん.

6証明しょうめい補足ほそく：環準同型かんじゅんどうけいの核かくはイデアルである

$φ : R \to S$ を環準同型かんじゅんどうけいring homomorphismとする。核かくを

\ker φ = {r \in R ∣ φ (r) = 0}

で定義ていぎする。まず $φ (0_{R}) = 0_{S}$ なので、 $0_{R} \in \ker φ$ であり、核かくは空からではない。 $a, b \in \ker φ$ なら、

φ (a - b) = φ (a) - φ (b) = 0 - 0 = 0

なので $a - b \in \ker φ$ である。また $r \in R$ 、 $a \in \ker φ$ なら、

φ (r a) = φ (r) φ (a) = φ (r) 0 = 0, φ (a r) = φ (a) φ (r) = 0 φ (r) = 0

なので $r a, a r \in \ker φ$ である。したがって環準同型かんじゅんどうけいの核かくはイデアルidealである。

像ぞうについても閉性へいせいを確たしかめる。 $x = φ (a)$ 、 $y = φ (b)$ を $Im φ$ の元げんとすると、

x + y = φ (a + b), - x = φ (- a), x y = φ (a b)

であり、 $0_{S} = φ (0_{R})$ 、 $1_{S} = φ (1_{R})$ も像ぞうに属ぞくする。したがって像ぞうは加法かほう・加法逆元かほうぎゃくげん・乗法じょうほうについて閉とじ、零元れいげんと乗法単位元じょうほうたんいげんを含ふくむ。加法かほうと乗法じょうほうの結合法則けつごうほうそく、加法かほうの交換法則こうかんほうそく、分配法則ぶんぱいほうそくは $S$ の演算えんざんを像ぞうへ制限せいげんすればそのまま継承けいしょうされる。このように、 $S$ の演算えんざんをそのまま使つかって環かんになり、 $S$ と乗法単位元じょうほうたんいげんを共有きょうゆうする部分集合ぶぶんしゅうごうを、ここでは $S$ の部分環ぶぶんかんとよぶ。したがって $Im φ$ は $S$ の部分環ぶぶんかんである。

6Proof supplement: the kernel核かく of a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい is an idealイデアル

Let $φ : R \to S$ be a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい. Define its kernel核かく by

\ker φ = {r \in R ∣ φ (r) = 0} .

First, $φ (0_{R}) = 0_{S}$ , so $0_{R} \in \ker φ$ ; hence the kernel is nonempty. If $a, b \in \ker φ$ , then

φ (a - b) = φ (a) - φ (b) = 0 - 0 = 0,

so $a - b \in \ker φ$ . Also, if $r \in R$ and $a \in \ker φ$ , then

φ (r a) = φ (r) φ (a) = φ (r) 0 = 0, φ (a r) = φ (a) φ (r) = 0 φ (r) = 0,

so $r a, a r \in \ker φ$ . Therefore the kernel核かく of a ring homomorphism環準同型かんじゅんどうけい is an idealイデアル.

We also verify closure of the image像ぞう. Let $x = φ (a)$ and $y = φ (b)$ lie in $Im φ$ . Then

x + y = φ (a + b), - x = φ (- a), x y = φ (a b),

and both $0_{S} = φ (0_{R})$ and $1_{S} = φ (1_{R})$ lie in the image. Thus the image is closed under addition, additive inverses, and multiplication and contains the zero and multiplicative identity. Associativity of addition and multiplication, commutativity of addition, and the distributive laws are inherited by restricting the operations of $S$ . Here, a subset that is a ring under the operations inherited from $S$ and shares the multiplicative identity of $S$ is called a subring of $S$ . Therefore $Im φ$ is a subring of $S$ .

7演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/homomorphisms-and-isomorphisms.exercise.n.md

7Exercise link

data/exercise/math/abstract-algebra/homomorphisms-and-isomorphisms.exercise.n.md

8まとめ

準同型じゅんどうけいhomomorphismは、演算えんざんoperationを保存ほぞんする写像しゃぞうmapである。群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismは群ぐんの積せきを保たもち、環準同型かんじゅんどうけいring homomorphismは加法かほう・乗法じょうほう・乗法単位元じょうほうたんいげんを保たもつ。核かくkernelは単位元たんいげんまたは 0 に写うつる部分ぶぶん、像ぞうimageは実際じっさいに到達とうたつする部分ぶぶんである。評価写像ひょうかしゃぞうは多項式環たこうしきかんの具体例ぐたいれいであり、環準同型かんじゅんどうけいの核かくはイデアルになる。これらが商構造しょうこうぞうと第一同型定理だいいちどうけいていりへの入口いりぐちになる。

8Summary

A homomorphism準同型じゅんどうけい is a map that preserves operations. A group homomorphism preserves the group product, while a ring homomorphism preserves addition, multiplication, and the multiplicative identity. The kernel核かく is the part mapped to an identity element or to 0, and the image像ぞう is the part actually reached. Evaluation maps provide concrete polynomial examples, and the kernel of a ring homomorphism is an ideal. These ideas lead to quotient structures and the first isomorphism theorem.