環かんringの基本きほん

群ぐんgroupは一ひとつの演算えんざんoperationを持もつ構造こうぞうstructureだった。環かんringは、加法かほうadditionと乗法じょうほうmultiplicationという二ふたつの演算えんざんoperationを同時どうじに持もつ構造こうぞうstructureである。

環かんringを学まなぶ目的もくてきは、整数せいすうinteger、多項式たこうしきpolynomial、行列ぎょうれつmatrix、剰余類じょうよるいresidue classを同おなじ言葉ことばで扱あつかうことである。これらは見みた目めは違ちがうが、加法かほうadditionと乗法じょうほうmultiplicationが分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawで結むすびついている。

Basics of rings環かん

A group群ぐん was a structure with one operation演算えんざん. A ring環かん is a structure構造こうぞう with two operations at the same time: addition加法かほう and multiplication乗法じょうほう.

The reason to study rings is to handle integers整数せいすう, polynomials多項式たこうしき, matrices行列ぎょうれつ, and residue classes剰余類じょうよるい in the same language. They look different, but their addition and multiplication are connected by distributive laws分配法則ぶんぱいほうそく.

1環かんの定義ていぎ

集合しゅうごうset $$R$$R と二ふたつの演算えんざんoperation $$+$$+、$$·$$\cdot の組くみ $$(R,+,·)$$(R,+,\cdot) が環かんringであるとは、次つぎを満みたすことである。

まず、$$(R,+)$$(R,+) は可換群かかんぐんabelian groupである。つまり、加法かほうadditionは結合法則けつごうほうそくと交換法則こうかんほうそくを満みたし、加法単位元かほうたんいげん 0 があり、各かく元げんelement $$a$$a に加法逆元かほうぎゃくげんadditive inverse $$-a$$-a がある。

次つぎに、$$(R,·)$$(R,\cdot) はモノイドである。つまり、乗法じょうほうmultiplicationは結合法則けつごうほうそくassociative lawを満みたし、乗法単位元じょうほうたんいげんmultiplicative identity $$1$$1 をもつ。

さらに、加法かほうadditionと乗法じょうほうmultiplicationは分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawで結むすばれる。

ここで公理こうりは $$a,b,c\in R$$a,b,c\in R の任意にんいの選えらび方かたについて成立せいりつするものとする。$$1$$1 を要求ようきゅうしない流儀りゅうぎもあるが、この教材きょうざいでは、特とくに断ことわらない限かぎり、環かんringは $$1$$1 を持もつものとして扱あつかう。また、この定義ていぎでは $$0=1$$0=1 である零環れいかんも環かんに含ふくめる。体たいや整域せいいきのように零環れいかんを除のぞく構造こうぞうでは、$$0\ne 1$$0\ne1 を定義ていぎに明示めいじする。

1Definition of a ring

A triple $$(R,+,·)$$(R,+,\cdot) consisting of a set集合しゅうごう $$R$$R and two operations演算えんざん $$+$$+ and $$·$$\cdot is a ring環かん if it satisfies the following conditions.

First, $$(R,+)$$(R,+) is an abelian group可換群かかんぐん. Thus addition is associative and commutative, has an additive identity 0, and each element元げん $$a$$a has an additive inverse加法逆元かほうぎゃくげん $$-a$$-a.

Next, $$(R,·)$$(R,\cdot) is a monoid. Thus multiplication satisfies the associative law結合法則けつごうほうそく and has a multiplicative identity乗法単位元じょうほうたんいげん $$1$$1.

Furthermore, addition and multiplication are connected by the distributive laws分配法則ぶんぱいほうそく.

These axioms hold for every choice of $$a,b,c\in R$$a,b,c\in R. Some conventions do not require $$1$$1; in this material, unless stated otherwise, rings have a multiplicative identity. This definition includes the zero ring, in which $$0=1$$0=1. Structures that exclude the zero ring, such as fields and integral domains, explicitly require $$0\ne 1$$0\ne1 in their definitions.

2何故なぜ乗法逆元じょうほうぎゃくげんを要求ようきゅうしないか

整数せいすう環かん $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z では、2 の乗法逆元じょうほうぎゃくげんは整数せいすうの中なかに存在そんざいしない。もし環かんの定義ていぎで 0 以外いがいの全すべてに乗法逆元じょうほうぎゃくげんを要求ようきゅうすると、整数せいすうを環かんとして扱あつかえなくなる。

環かんは、割わり算ざんまでは要求ようきゅうしない。その代かわり、足たし算ざんと掛かけ算ざんが一緒いっしょに動うごく構造こうぞうを保たもつ。

$$0\ne 1$$0\ne1 であり、0 以外いがいの全すべてに乗法逆元じょうほうぎゃくげんを要求ようきゅうした可換環かかんかんが体たいである。

2Why multiplicative inverses are not required

In the integer ring $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, the multiplicative inverse of 2 does not exist among the integers. If the definition定義ていぎ of a ring required every nonzero element to have a multiplicative inverse, the integers could not be treated as a ring.

A ring does not require division. Instead, it preserves the structure in which addition and multiplication work together.

A commutative ring with $$0\ne 1$$0\ne1 in which every nonzero element has a multiplicative inverse is a field体たい.

3基本きほん例れい

行列積ぎょうれつせきが非可換ひかかんであるため、環かんでは乗法じょうほうの可換性かかんせいを必かならずしも要求ようきゅうしない。

$$M_n\left(\mathbb{Z}\right)$$M_n(\mathbb Z) は $$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$$n\ge2 のときの非可換ひかかん環かんの代表例だいひょうれいとして挙あげている。行列ぎょうれつの詳くわしい理論りろんは、この章しょうの環かんの定義ていぎには必要ひつようない。

3Basic examples

Because matrix multiplication is noncommutative, commutativity of multiplication is not always required in rings.

The example $$M_n\left(\mathbb{Z}\right)$$M_n(\mathbb Z) for $$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$$n\ge2 is included as a standard noncommutative ring. The detailed theory of matrices is not needed for the definition of rings in this chapter.

4何なにが保存ほぞんされるか

環かんでは、加法かほうの可換群かかんぐん構造こうぞう、乗法じょうほうのモノイド構造こうぞう、分配法則ぶんぱいほうそくが同時どうじに成立せいりつする。足たし算ざんだけを見みると可換群かかんぐんであり、掛かけ算ざんだけを見みるとモノイドである。分配法則ぶんぱいほうそくがこの二ふたつを結むすぶため、展開てんかいや因数分解いんすうぶんかいのような計算けいさんができる。

4What is preserved

In a ring環かん, an additive abelian-group structure, a multiplicative monoid structure, and the distributive laws hold simultaneously. Looking only at addition gives an abelian group; looking only at multiplication gives a monoid. The distributive laws connect the two, making calculations such as expansion and factorization possible.

5公理こうりから従したがう基本恒等式きほんこうとうしき

環かんでは、$$a,b\in R$$a,b\in R に対たいして

が成立せいりつする。これらは追加ついかの公理こうりではなく、分配法則ぶんぱいほうそくと加法逆元かほうぎゃくげんから導みちびかれる。

たとえば

である。加法かほうについて両辺りょうへんに $$-\left(a0\right)$$-(a0) を加くわえると $$0=a0$$0=a0 を得える。また、

なので、$$(-a)b$$(-a)b は $$ab$$ab の加法逆元かほうぎゃくげんであり、$$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab) である。$$a(-b)=-\left(ab\right)$$a(-b)=-(ab) も同様どうように示しめせる。したがって

も従したがう。実際じっさい、$$(-a)(-b)=-\left(\right(-a\left)b\right)=-(-(ab\left)\right)=ab$$(-a)(-b)=-((-a)b)=-(-(ab))=ab である。

5Basic identities derived from the axioms

For every $$a,b\in R$$a,b\in R in a ring,

hold. These are not additional axioms; they follow from the distributive laws and additive inverses.

For example,

Adding $$-\left(a0\right)$$-(a0) to both sides in the additive group gives $$0=a0$$0=a0. Moreover,

so $$(-a)b$$(-a)b is the additive inverse of $$ab$$ab and hence $$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab). The proof of $$a(-b)=-\left(ab\right)$$a(-b)=-(ab) is analogous. Consequently,

also follows, since $$(-a)(-b)=-\left(\right(-a\left)b\right)=-(-(ab\left)\right)=ab$$(-a)(-b)=-((-a)b)=-(-(ab))=ab.

6演習えんしゅうリンク

6Exercise link

7補足ほそく：単元たんげんと体たいの違ちがい

環かん $$R$$R の元げん $$u$$u が単元たんげんunitであるとは、ある $$v\in R$$v\in R が存在そんざいして

となることである。体たいでは 0 以外いがいの全すべての元げんが単元たんげんである。しかし一般いっぱんの環かんでは、単元たんげんは一部いちぶの元げんだけである。

たとえば $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z の単元たんげんは $$1$$1 と $$-1$$-1 だけである。2 は $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z の元げんだが、$$2v=1$$2v=1 となる整数せいすう $$v$$v は存在そんざいしない。したがって、環かんでは「掛かけられる」ことと「割われる」ことを区別くべつする必要ひつようがある。

7Supplement: units and the difference from fields体たい

An element $$u$$u of a ring環かん $$R$$R is a unit単元たんげん if there exists $$v\in R$$v\in R such that

In a field体たい, every nonzero element is a unit. In a general ring, however, only some elements are units.

For example, the only units in $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z are $$1$$1 and $$-1$$-1. The element 2 is an element of $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, but there is no integer $$v$$v such that $$2v=1$$2v=1. Thus in rings, being able to multiply and being able to divide must be distinguished.

8注意ちゅうい：可換かかんでない環かん

行列ぎょうれつ環かん $$M_n\left(\mathbb{Z}\right)$$M_n(\mathbb Z) は、$$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$$n\ge2 のとき可換かかんではない。つまり、$$AB\ne BA$$AB\ne BA となる行列ぎょうれつ $$A,B$$A,B が存在そんざいする。このため、環かんの計算けいさんでは乗法じょうほうの順序じゅんじょを勝手かってに入いれ替かえてはいけない。可換環かかんかんであることを使つかう議論ぎろんでは、その仮定かていを明示めいじすることが重要じゅうようである。

8Warning: noncommutative rings

The matrix ring $$M_n\left(\mathbb{Z}\right)$$M_n(\mathbb Z) is not commutative when $$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$$n\ge2: there exist matrices $$A,B$$A,B for which $$AB\ne BA$$AB\ne BA. Therefore, in ring calculations, the order順序じゅんじょ of multiplication cannot be changed freely. When an argument uses commutativity, the assumption that the ring is commutative must be stated explicitly.

9まとめ

環かんringは、加法かほうの可換群かかんぐんと乗法じょうほうのモノイドを分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawで結むすんだ代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureである。整数せいすうinteger、多項式たこうしきpolynomial、剰余類じょうよるいresidue class、行列ぎょうれつmatrixを同おなじ言葉ことばで扱あつかえる。乗法逆元じょうほうぎゃくげんは全すべての元げんに要求ようきゅうせず、逆元ぎゃくげんをもつ元げんだけを単元たんげんとよぶ。次つぎは、商環しょうかんを作つくるためのイデアルを学まなぶ。

9Summary

A ring環かん is an algebraic structure代数的構造だいすうてきこうぞう that connects an additive abelian group and a multiplicative monoid by distributive laws. It allows integers, polynomials, residue classes, and matrices to be treated in a common language. Multiplicative inverses are not required for every element; the elements that do have inverses are called units. Next, we study ideals, the subsets used to construct quotient rings.