整域せいいきintegral domain・零因子れいいんしzero divisor・多項式環たこうしきかんpolynomial ring

環かんでは、0 でない二ふたつの元げんを掛かけた結果けっかが 0 になることがある。この現象げんしょうは、掛かけ算ざんによって情報じょうほうが潰つぶれることを意味いみする。その原因げんいんになる元げんを零因子れいいんしという。

integral domains整域せいいき, zero divisors零因子れいいんし, and polynomial rings多項式環たこうしきかん

In a ring環かん, the product of two nonzero elements may become 0. This phenomenon means that information is lost through multiplication. An element that causes this phenomenon is called a zero divisor零因子れいいんし.

1零因子れいいんし

環かん $$R$$R の 0 でない元げん $$a$$a が零因子れいいんしであるとは、0 でない元げん $$b$$b が存在そんざいして

または

となることである。

たとえば $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z では、

である。$$\left[2\right]$$[2] も $$\left[3\right]$$[3] も 0 ではないので、零因子れいいんしである。

1Zero divisors

A nonzero element $$a$$a of a ring $$R$$R is a zero divisor零因子れいいんし if there exists a nonzero element $$b$$b such that

or

For example, in $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z,

Both $$\left[2\right]$$[2] and $$\left[3\right]$$[3] are nonzero, so they are zero divisors零因子れいいんし.

2整域せいいき

整域せいいきintegral domainとは、$$0\ne 1$$0\ne1 であり、0 でない元げんどうしの積せきが 0 にならない可換環かかんかんである。つまり、任意にんいの $$a,b\in R$$a,b\in R について

が成立せいりつする。

整数せいすう環かん $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は整域せいいきである。実数じっすう体たい $$\mathbb{R}$$\mathbb R も整域せいいきである。一方いっぽう、$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z は整域せいいきではない。

2Integral domains

An integral domain整域せいいき is a commutative ring with $$0\ne 1$$0\ne1 in which the product of nonzero elements is never 0. Equivalently, for all $$a,b\in R$$a,b\in R,

holds.

The integer ring $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is an integral domain整域せいいき. The real field体たい $$\mathbb{R}$$\mathbb R is also an integral domain整域せいいき. On the other hand, $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z is not an integral domain整域せいいき.

3定理ていり：整域せいいきの消去法則しょうきょほうそく

整域せいいき $$R$$R では、$$a,b,c\in R$$a,b,c\in R かつ $$a\ne 0$$a\ne0 のとき、

が成立せいりつする。証明しょうめいする。$$ab=ac$$ab=ac なら、分配法則ぶんぱいほうそくより

である。$$a\ne 0$$a\ne0 であり、整域せいいきには零因子れいいんしがないので $$b-c=0$$b-c=0、したがって $$b=c$$b=c である。

ここでは割わり算ざんを使つかっていない。0 でない元げんで割わったのではなく、零因子れいいんしがないことを使つかって消去しょうきょしている。

3Theorem: cancellation in an integral domain整域せいいき

In an integral domain整域せいいき $$R$$R, if $$a,b,c\in R$$a,b,c\in R and $$a\ne 0$$a\ne0, then

Proof. If $$ab=ac$$ab=ac, distributivity gives

Since $$a\ne 0$$a\ne0 and an integral domain has no zero divisors, $$b-c=0$$b-c=0, hence $$b=c$$b=c.

No division is used here. We are not dividing by a nonzero element; we are using the absence of zero divisors零因子れいいんし to cancel.

4多項式環たこうしきかん

可換環かかんかん $$R$$R 上じょうの多項式たこうしきpolynomialとは、

の形かたちの形式的けいしきてきな有限和ゆうげんわである。ここで「形式的けいしきてき」とは、$$x$$x に値あたいを代入だいにゅうしてできる関数かんすうではなく、有限個ゆうげんこを除のぞいて 0 になる係数列けいすうれつ $$(a_0,a_1,\dots )$$(a_0,a_1,\ldots) として扱あつかうという意味いみである。多項式たこうしき全体ぜんたいを

と書かく。係数けいすうごとの加法かほうと、分配法則ぶんぱいほうそくによる乗法じょうほうを

で定さだめると、$$R\left[x\right]$$R[x] は環かんになる。加法単位元かほうたんいげんは 0 多項式たこうしき、乗法単位元じょうほうたんいげんは定数多項式ていすうたこうしき 1 である。たとえば $$\mathbb{Z}\left[x\right]$$\mathbb Z[x] は整数係数せいすうけいすう多項式たこうしきの環かんである。

この主張しゅちょうを係数けいすうで確たしかめる。有限個ゆうげんこの非零係数ひれいけいすうしかない二ふたつの列れつについて、和わと上うえの積せきも非零係数ひれいけいすうを有限個ゆうげんこしか持もたないので、二ふたつの演算えんざんは $$R\left[x\right]$$R[x] 上じょうで閉とじている。加法かほうの結合法則けつごうほうそくと交換法則こうかんほうそくは係数けいすうごとに $$R$$R から従したがい、$$\sum _i{a}_i{x}^i$$\sum_i a_ix^i の加法逆元かほうぎゃくげんは $$\sum _i(-a_i)x^i$$\sum_i(-a_i)x^i である。

また、$$f=\sum _i{a}_i{x}^i$$f=\sum_i a_ix^i、$$g=\sum _j{b}_j{x}^j$$g=\sum_j b_jx^j、$$h=\sum _{\ell }{c}_{\ell }{x}^{\ell }$$h=\sum_\ell c_\ell x^\ell とすると、$$\left(\right(fg\left)h\right)$$((fg)h) と $$f\left(gh\right)$$f(gh) の $$x^n$$x^n の係数けいすうはどちらも

なので、乗法じょうほうは結合法則けつごうほうそくを満みたす。定数多項式ていすうたこうしき 1 は乗法単位元じょうほうたんいげんである。分配法則ぶんぱいほうそくは、たとえば $$f(g+h)$$f(g+h) の $$x^n$$x^n の係数けいすうが

となることから従したがい、もう一方いっぽうも同様どうようである。さらに $$R$$R が可換かかんなので乗法じょうほうも可換かかんである。したがって $$R\left[x\right]$$R[x] は実際じっさいに可換環かかんかんになる。

0 でない多項式たこうしき $$f\left(x\right)=a_0+\cdots +a_m{x}^m$$f(x)=a_0+\cdots+a_mx^m で $$a_m\ne 0$$a_m\ne0 のとき、$$m$$m を $$f$$f の次数じすうdegree $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}f$$\deg f、$$a_m$$a_m を最高次係数さいこうじけいすうleading coefficientという。0 多項式たこうしきの次数じすうは、ここでは定義ていぎしない。

4Polynomial rings

Let $$R$$R be a commutative ring. A polynomial多項式たこうしき over $$R$$R is a formal finite sum of the form

Here “formal” means that the polynomial is the coefficient sequence $$(a_0,a_1,\dots )$$(a_0,a_1,\ldots) with all but finitely many coefficients equal to 0, rather than the function obtained by substituting values for $$x$$x. The set of all such polynomials is denoted by

Define addition coefficientwise and multiplication by distributivity:

With these operations, $$R\left[x\right]$$R[x] is a ring. Its additive identity is the zero polynomial, and its multiplicative identity is the constant polynomial 1. For example, $$\mathbb{Z}\left[x\right]$$\mathbb Z[x] is the ring of polynomials with integer coefficients.

We verify this claim through coefficients. If two coefficient sequences have finite support, then their sum and the product defined above also have finite support, so both operations are closed on $$R\left[x\right]$$R[x]. Associativity and commutativity of addition follow coefficientwise from $$R$$R, and the additive inverse of $$\sum _i{a}_i{x}^i$$\sum_i a_ix^i is $$\sum _i(-a_i)x^i$$\sum_i(-a_i)x^i.

Now let $$f=\sum _i{a}_i{x}^i$$f=\sum_i a_ix^i, $$g=\sum _j{b}_j{x}^j$$g=\sum_j b_jx^j, and $$h=\sum _{\ell }{c}_{\ell }{x}^{\ell }$$h=\sum_\ell c_\ell x^\ell. The coefficient of $$x^n$$x^n in both $$\left(fg\right)h$$(fg)h and $$f\left(gh\right)$$f(gh) is

so multiplication is associative. The constant polynomial 1 is the multiplicative identity. For example, distributivity follows because the coefficient of $$x^n$$x^n in $$f(g+h)$$f(g+h) is

The other distributive law is similar. Finally, multiplication is commutative because $$R$$R is commutative. Thus $$R\left[x\right]$$R[x] is indeed a commutative ring.

For a nonzero polynomial $$f\left(x\right)=a_0+\cdots +a_m{x}^m$$f(x)=a_0+\cdots+a_mx^m with $$a_m\ne 0$$a_m\ne0, the integer $$m$$m is the degree次数じすう $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}f$$\deg f, and $$a_m$$a_m is the leading coefficient最高次係数さいこうじけいすう. We leave the degree of the zero polynomial undefined here.

5定理ていり：整域せいいき上じょうの多項式環たこうしきかんも整域せいいき

$$R$$R が整域せいいきintegral domainなら、$$R\left[x\right]$$R[x] も整域せいいきである。さらに、0 でない多項式たこうしき $$f,g\in R\left[x\right]$$f,g\in R[x] について

が成立せいりつする。

証明しょうめいする。$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}f=m$$\deg f=m、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}g=n$$\deg g=n とし、$$f$$f の最高次係数さいこうじけいすうを $$a_m$$a_m、$$g$$g の最高次係数さいこうじけいすうを $$b_n$$b_n とする。$$f,g$$f,g は 0 でないので $$a_m\ne 0$$a_m\ne0、$$b_n\ne 0$$b_n\ne0 である。$$R$$R は整域せいいきなので $$a_m{b}_n\ne 0$$a_mb_n\ne0 である。

$$fg$$fg の $$x^{m+n}$$x^{m+n} の係数けいすうは $$a_m{b}_n$$a_mb_n であり、これより高たかい次数じすうの項こうはない。したがって $$fg\ne 0$$fg\ne0 かつ $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}\left(fg\right)=m+n$$\deg(fg)=m+n である。よって 0 でない多項式たこうしきどうしの積せきは 0 にならず、$$R\left[x\right]$$R[x] は可換環かかんかんで $$0\ne 1$$0\ne1 でもあるから整域せいいきである。

5Theorem: a polynomial ring over an integral domain is an integral domain

If $$R$$R is an integral domain整域せいいき, then $$R\left[x\right]$$R[x] is also an integral domain. Moreover, for nonzero polynomials $$f,g\in R\left[x\right]$$f,g\in R[x],

Proof. Let $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}f=m$$\deg f=m and $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}g=n$$\deg g=n, and let $$a_m$$a_m and $$b_n$$b_n be the leading coefficients of $$f$$f and $$g$$g, respectively. Since $$f$$f and $$g$$g are nonzero, $$a_m\ne 0$$a_m\ne0 and $$b_n\ne 0$$b_n\ne0. Because $$R$$R is an integral domain, $$a_m{b}_n\ne 0$$a_mb_n\ne0.

The coefficient of $$x^{m+n}$$x^{m+n} in $$fg$$fg is $$a_m{b}_n$$a_mb_n, and no term of higher degree occurs. Thus $$fg\ne 0$$fg\ne0 and $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("deg")")]}\left(fg\right)=m+n$$\deg(fg)=m+n. Therefore a product of nonzero polynomials is nonzero; since $$R\left[x\right]$$R[x] is commutative and has $$0\ne 1$$0\ne1, it is an integral domain.

6体たいとの関係かんけい

体たいの正式せいしきな定義ていぎは次つぎの講義こうぎで扱あつかう。この節せつでは先取さきどりとして、体たいを「$$0\ne 1$$0\ne1 であり、0 でない全すべての元げんが乗法逆元じょうほうぎゃくげんを持もつ可換環かかんかん」として使つかう。

全すべての体たいは整域せいいきである。なぜなら、$$a\ne 0$$a\ne0 で $$ab=0$$ab=0 なら、$$a^{-1}$$a^{-1} を掛かけて

が導みちびかれるからである。この場面ばめんでは $$a^{-1}$$a^{-1} を使つかうため、$$a\ne 0$$a\ne0 の確認かくにんが必要ひつようである。

6Relation with fields体たい

The formal definition of a field体たい is given in the next lecture. In this section, as a preview, we use the following minimum meaning: a field is a commutative ring with $$0\ne 1$$0\ne1 in which every nonzero element has a multiplicative inverse.

Every field体たい is an integral domain整域せいいき. If $$a\ne 0$$a\ne0 and $$ab=0$$ab=0, multiplying by $$a^{-1}$$a^{-1} gives

This step uses $$a^{-1}$$a^{-1}, so it is necessary to check that $$a\ne 0$$a\ne0.

7演習えんしゅうリンク

現時点げんじてんでは、次つぎの演習えんしゅうの問題もんだい1と問題もんだい4に取とり組くめる。体たいを学まなんだ後あとに問題もんだい2・3と証明演習しょうめいえんしゅうへ、有限体ゆうげんたいを学まなんだ後あとに問題もんだい5へ進すすむ。

7Exercise link

At this point, Problems 1 and 4 in the following exercise are ready. After studying fields, continue with Problems 2 and 3 and the proof exercise; after studying finite fields, complete Problem 5.

8まとめ

零因子れいいんしは、別べつの 0 でない元げんを掛かけると 0 になる、0 でない元げんである。整域せいいきではそのような潰つぶれが起おきないため、0 でない元げんを消去しょうきょできる。多項式たこうしきの係数けいすうごとの加法かほうと分配法則ぶんぱいほうそくによる乗法じょうほうは $$R\left[x\right]$$R[x] を環かんにする。$$R$$R が整域せいいきなら、最高次係数さいこうじけいすうを調しらべることで $$R\left[x\right]$$R[x] も整域せいいきであり、積せきでは次数じすうが加くわわると分わかる。全すべての体たいは整域せいいきであり、次つぎの講義こうぎで体たいを正式せいしきに学まなぶ。

8Summary

A zero divisor零因子れいいんし is a nonzero element that annihilates another nonzero element. In an integral domain整域せいいき, such collapse does not occur, so nonzero factors can be cancelled. Polynomial addition and multiplication make $$R\left[x\right]$$R[x] a ring; when $$R$$R is an integral domain, leading coefficients show that $$R\left[x\right]$$R[x] is also an integral domain and that degrees add under multiplication. Every field is an integral domain, and the next lecture develops fields formally.