体たいfieldの基本きほん

体たいfieldは、0 以外いがいの元げんelementで割わり算ざんができる可換環かかんかんcommutative ringである。体たいfieldを学まなぶ理由りゆうは、方程式ほうていしき、線型代数せんけいだいすうlinear algebra、多項式たこうしきの計算けいさんを安定あんていして行おこなうためである。

整数せいすうでは $$2x=1$$2x=1 を整数せいすうの中なかで解とけない。しかし有理数ゆうりすうや実数じっすうでは $$x=1/2$$x=1/2 と解とける。この違ちがいを構造こうぞうとして表あらわしたものが体たいfieldである。

Basics of fields体たい

A field体たい is a commutative ring可換環かかんかん in which division by nonzero elements is possible. Fields are studied because they make computations in equations, linear algebra, and polynomials stable.

In the integers, the equation $$2x=1$$2x=1 cannot be solved within the integers. In the rational numbers or real numbers, however, it has the solution $$x=1/2$$x=1/2. A field体たい is the structure that expresses this difference.

1体たいfieldの定義ていぎ

可換環かかんかんcommutative ring $$F$$F が体たいfieldであるとは、$$0\ne 1$$0\ne1 であり、$$0\ne a\in F$$0\ne a\in F の任意にんいの元げんelementが乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverseを持もつことである。

ここで $$0\ne 1$$0\ne1 とし、逆元ぎゃくげんの条件じょうけんから 0 を除のぞくことが重要じゅうようである。もし $$0b=1$$0b=1 となる $$b$$b があれば、環かんの基本恒等式きほんこうとうしき $$0b=0$$0b=0 により $$0=1$$0=1 となり、$$0\ne 1$$0\ne1 に矛盾むじゅんする。したがって 0 に乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverseは存在そんざいしない。

1Definition of a field体たい

A commutative ring可換環かかんかん $$F$$F is a field体たい if $$0\ne 1$$0\ne1 and every nonzero element $$a\in F$$a\in F has a multiplicative inverse乗法逆元じょうほうぎゃくげん.

It is important to require $$0\ne 1$$0\ne1 and exclude 0 from the inverse condition. If an element $$b$$b satisfied $$0b=1$$0b=1, the basic ring identity $$0b=0$$0b=0 would give $$0=1$$0=1, contradicting $$0\ne 1$$0\ne1. Thus 0 has no multiplicative inverse乗法逆元じょうほうぎゃくげん.

2基本きほん例れい

は体たいfieldである。

一方いっぽう、$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は体たいfieldではない。2 の乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverse $$1/2$$1/2 が整数せいすうではないからである。

また、$$p$$p が素数そすうprime numberのとき

は体たいfieldである。0 でない剰余類じょうよるいresidue class $$\left[a\right]$$[a] なら $$p\nmid a$$p\nmid a であり、$$p$$p は素数そすうなので $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(a,p)=1$$\gcd(a,p)=1 である。ベズーの等式とうしきより、ある整数せいすう $$u,v$$u,v が存在そんざいして

となる。法ほう $$p$$p で剰余類じょうよるいを取とると $$\left[a\right]\left[u\right]=\left[1\right]$$[a][u]=[1] なので、$$\left[u\right]$$[u] が $$\left[a\right]$$[a] の逆元ぎゃくげんinverse elementである。

2Basic examples

are fields体たい.

On the other hand, $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is not a field体たい, because the multiplicative inverse乗法逆元じょうほうぎゃくげん $$1/2$$1/2 of 2 is not an integer.

Also, when $$p$$p is prime,

is a field体たい. If the residue class剰余類じょうよるい $$\left[a\right]$$[a] is nonzero, then $$p\nmid a$$p\nmid a. Since $$p$$p is prime, $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(a,p)=1$$\gcd(a,p)=1. Bezout's identity gives integers $$u,v$$u,v such that

Taking residue classes modulo $$p$$p gives $$\left[a\right]\left[u\right]=\left[1\right]$$[a][u]=[1], so $$\left[u\right]$$[u] is an inverse逆元ぎゃくげん of $$\left[a\right]$$[a].

3体たいfield上じょうで線型代数せんけいだいすうlinear algebraが動うごく理由りゆう

線型代数せんけいだいすうlinear algebraでは、係数けいすうを割わる操作そうさが頻繁ひんぱんに表あらわれる。たとえば掃はき出だし法ほうGaussian eliminationでは、主成分しゅせいぶんpivotを 1 にするために 0 でない数かずで割わる。

この操作そうさが正当化せいとうかされるのは、係数けいすうが体たいfieldの元げんelementであり、0 でない元げんelementに逆元ぎゃくげんinverse elementが存在そんざいするからである。

この節せつは応用おうようへの見通みとおしであり、線型代数せんけいだいすうの結果けっかを以後いごの体たいの定義ていぎや証明しょうめいの前提ぜんていにはしない。

3Why linear algebra works over fields体たい

In linear algebra, operations that divide by coefficients appear frequently. For example, in Gaussian elimination掃はき出だし法ほう, one divides by a nonzero number to make a pivot主成分しゅせいぶん equal to 1.

This operation is justified because coefficients are elements of a field体たい, and every nonzero element has an inverse.

This section is a preview of applications; results from linear algebra are not used as prerequisites for the later definitions or proofs about fields.

4定理ていり：体たいfieldは整域せいいきintegral domain

全すべての体たいfieldは整域せいいきintegral domainである。証明しょうめいする。$$ab=0$$ab=0 とする。$$a=0$$a=0 ならすでに結論けつろんを満みたす。$$a\ne 0$$a\ne0 なら $$a^{-1}$$a^{-1} が存在そんざいするので、左ひだりから掛かけると

である。結合法則けつごうほうそくより $$\left(a^{-1}a\right)b=b=0$$(a^{-1}a)b=b=0 である。したがって $$ab=0$$ab=0 なら $$a=0$$a=0 または $$b=0$$b=0 であり、体たいは整域せいいきである。この議論ぎろんでは $$a\ne 0$$a\ne0 を確認かくにんしてから逆元ぎゃくげんを使つかっており、0 で割わってはいない。

逆ぎゃくに、全すべての整域せいいきintegral domainが体たいfieldであるわけではない。$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は整域せいいきintegral domainだが体たいfieldではない。

4Theorem: every field体たい is an integral domain整域せいいき

Every field体たい is an integral domain整域せいいき. Proof. Suppose $$ab=0$$ab=0. If $$a=0$$a=0, the conclusion already holds. If $$a\ne 0$$a\ne0, then $$a^{-1}$$a^{-1} exists, and multiplying on the left gives

By associativity, $$\left(a^{-1}a\right)b=b=0$$(a^{-1}a)b=b=0. Thus $$ab=0$$ab=0 implies $$a=0$$a=0 or $$b=0$$b=0, so the field is an integral domain. The inverse is used only after checking $$a\ne 0$$a\ne0; no division by zero occurs.

Conversely, not every integral domain整域せいいき is a field体たい. The ring $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is an integral domain整域せいいき but not a field体たい.

5何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

整域せいいきintegral domainと体たいfieldの公理こうりを比くらべると、体たいは整域せいいきの条件じょうけんに「0 でない全すべての元げんが乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverseを持もつ」という条件じょうけんを加くわえた構造こうぞうである。体たいでは加法かほう、乗法じょうほう、分配法則ぶんぱいほうそく、可換性かかんせい、$$0\ne 1$$0\ne1 を保たもったまま、0 でない元げんで割わり算ざんができる。

これは、任意にんいの整域せいいきの同おなじ集合しゅうごうの中なかで逆元ぎゃくげんを宣言せんげんすれば体たいになる、という意味いみではない。たとえば $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は整域せいいきだが、その元げん 2 の逆元ぎゃくげんは $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z の中なかにないため、$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z 自体じたいは体たいではない。

5What changes and what is preserved

Comparing their axioms, a field体たい is an integral domain整域せいいき with the additional requirement that every nonzero element have a multiplicative inverse乗法逆元じょうほうぎゃくげん. Thus a field retains addition, multiplication, the distributive laws, commutativity, and $$0\ne 1$$0\ne1 while allowing division by nonzero elements.

This does not mean that one can merely declare inverses inside the same underlying set of an arbitrary integral domain. For example, $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is an integral domain, but the inverse of its element 2 does not lie in $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, so $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z itself is not a field.

6演習えんしゅうリンク

問題もんだい1〜4と証明演習しょうめいえんしゅうにはここまでで取とり組くめる。問題もんだい5は次つぎの有限体ゆうげんたいの講義こうぎの後あとに行おこなう。

6Exercise link

Problems 1–4 and the proof exercise are ready at this point. Complete Problem 5 after the next lecture on finite fields.

7まとめ

体たいfieldは、$$0\ne 1$$0\ne1 であり、0 以外いがいの元げんelementに乗法逆元じょうほうぎゃくげんmultiplicative inverseがある可換環かかんかんcommutative ringである。割わり算ざんができるため、方程式ほうていしきや線型代数せんけいだいすうlinear algebraの基本きほん操作そうさが自然しぜんに正当化せいとうかされる。

7Summary

A field体たい is a commutative ring可換環かかんかん with $$0\ne 1$$0\ne1 in which every nonzero element has a multiplicative inverse乗法逆元じょうほうぎゃくげん. Because division is possible, basic operations in equations and linear algebra are naturally justified.