環かんring・イデアルideal・商環しょうかんquotient ring 基本きほん演習えんしゅう

rings環かん, idealsイデアル, and quotient rings商環しょうかん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2取とり組くむ順序じゅんじょ

「環かんの基本きほん」の後あとは問題もんだい1・2に取とり組くめる。「イデアルと商環しょうかん」の後あとに問題もんだい3・4と証明演習しょうめいえんしゅうへ進すすむ。このページの prerequisites は全問題ぜんもんだいに取とり組くむための最終到達点さいしゅうとうたつてんを表あらわす。

2Suggested order

After “Ring basics,” complete Problems 1–2. After “Ideals and quotient rings,” continue with Problems 3–4 and the proof exercise. The page prerequisites describe what is needed to complete the whole page.

3関連かんれん演習えんしゅう

3Related exercises

4問題もんだい1：環かんringの例れいを挙あげる

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は通常つうじょうの足たし算ざんと掛かけ算ざんで環かんringか。

4Problem 1: give an example of a ring

Is $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z a ring環かん under ordinary addition and multiplication?

4.1解答かいとう

環かんringである。加法かほうadditionについて可換群かかんぐんであり、乗法じょうほうmultiplicationは結合法則けつごうほうそくを満みたし、分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawも成立せいりつする。乗法じょうほうmultiplication単位元たんいげんidentity elementは 1 である。

4.1Answer

Yes. It is an abelian group under addition, multiplication satisfies associativity, and the distributive law分配法則ぶんぱいほうそくs hold. The multiplicative identity is 1.

4.2解説かいせつ

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z では一般いっぱんに割わり算ざんは閉とじないが、環かんringでは乗法逆元じょうほうぎゃくげんを全すべてに要求ようきゅうしない。

4.2Explanation

Division is generally not closed in $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, but a ring does not require every element to have a multiplicative inverse.

5問題もんだい2：環かんの基本恒等式きほんこうとうしき

環かん $$R$$R の任意にんいの $$a,b\in R$$a,b\in R について、$$a0=0a=0$$a0=0a=0 と $$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab) を環かんの公理こうりから証明しょうめいせよ。

5Problem 2: basic ring identities

For arbitrary $$a,b\in R$$a,b\in R in a ring $$R$$R, prove $$a0=0a=0$$a0=0a=0 and $$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab) from the ring axioms.

5.1解答かいとう

分配法則ぶんぱいほうそくより

である。加法かほうについて両辺りょうへんに $$-\left(a0\right)$$-(a0) を加くわえると $$a0=0$$a0=0 を得える。同様どうように $$0b=(0+0)b=0b+0b$$0b=(0+0)b=0b+0b から $$0b=0$$0b=0 を得える。また、

である。したがって $$(-a)b$$(-a)b は $$ab$$ab の加法逆元かほうぎゃくげんなので、$$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab) である。

5.1Answer

By distributivity,

Adding $$-\left(a0\right)$$-(a0) to both sides in the additive group gives $$a0=0$$a0=0. Similarly, $$0b=(0+0)b=0b+0b$$0b=(0+0)b=0b+0b gives $$0b=0$$0b=0. Also,

Thus $$(-a)b$$(-a)b is the additive inverse of $$ab$$ab, so $$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab).

5.2解説かいせつ

$$a0=0$$a0=0 や負号ふごうの計算規則けいさんきそくは、整数せいすうだけの性質せいしつではない。環かんの分配法則ぶんぱいほうそくと加法群かほうぐんの性質せいしつから必然的ひつぜんてきに従したがう。

5.2Explanation

The rules $$a0=0$$a0=0 and the sign laws are not special properties of integers. They necessarily follow from distributivity and the additive-group structure of every ring.

6問題もんだい3：イデアルidealを確認かくにんする

$$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z は $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z のイデアルidealか。

6Problem 3: check an idealイデアル

Is $$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z an idealイデアル of $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z?

6.1解答かいとう

イデアルidealである。まず $$0=3·0\in 3\mathbb{Z}$$0=3\cdot0\in3\mathbb Z なので、$$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z は空からではない。任意にんいの $$3a,3b\in 3\mathbb{Z}$$3a,3b\in3\mathbb Z について

である。また、任意にんいの $$r\in \mathbb{Z}$$r\in\mathbb Z について

である。さらに $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z は可換環かかんかんなので、$$\left(3a\right)r=r\left(3a\right)\in 3\mathbb{Z}$$(3a)r=r(3a)\in3\mathbb Z でもある。したがって $$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z は左右さゆうどちらから掛かけても吸収きゅうしゅうし、$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z のイデアルである。

6.1Answer

Yes. First, $$0=3·0\in 3\mathbb{Z}$$0=3\cdot0\in3\mathbb Z, so $$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z is nonempty. For any $$3a,3b\in 3\mathbb{Z}$$3a,3b\in3\mathbb Z,

Also, for any $$r\in \mathbb{Z}$$r\in\mathbb Z,

Since $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z is commutative, we also have $$\left(3a\right)r=r\left(3a\right)\in 3\mathbb{Z}$$(3a)r=r(3a)\in3\mathbb Z. Thus $$3\mathbb{Z}$$3\mathbb Z absorbs multiplication from both sides and is an ideal of $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z.

6.2解説かいせつ

イデアルidealでは、引ひき算ざんで閉とじていることと、環かんringの任意にんいの元げんelementを掛かけても中なかに残のこることを確認かくにんする。

6.2Explanation

For an idealイデアル, we check closure閉包性へいほうせい under subtraction and that multiplying by any element of the ring leaves the result inside.

7問題もんだい4：商環しょうかんquotient ringを読よむ

$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$\mathbb Z/3\mathbb Z では、$$\left[2\right]+\left[2\right]$$[2]+[2] と $$\left[2\right]\left[2\right]$$[2][2] は何なにか。

7Problem 4: read a quotient ring商環しょうかん

In $$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$\mathbb Z/3\mathbb Z, what are $$\left[2\right]+\left[2\right]$$[2]+[2] and $$\left[2\right]\left[2\right]$$[2][2]?

7.1解答かいとう

である。

7.1Answer

7.2解説かいせつ

商環しょうかんquotient ringでは、計算けいさん結果けっかを同おなじ剰余類じょうよるいresidue classで代だい表ひょうし直なおす。代表元だいひょうげんは一ひとつに固定こていされていない。

7.2Explanation

In a quotient ring商環しょうかん, the result of a calculation is represented again by the same residue class. A representative is not fixed uniquely.

8証明しょうめい演習えんしゅう：商環しょうかんquotient ringの演算えんざんが well-defined であること

8Proof exercise: quotient-ring operations are well-defined

8.1問題もんだい

$I$I を環かんring $R$R のイデアルidealとする。$a+I=a^{\prime }+I$a+I=a'+I、$b+I=b^{\prime }+I$b+I=b'+I なら、$(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$(a+b)+I=(a'+b')+I、$ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I$ab+I=a'b'+I であることを証明しょうめいせよ。

8.1Problem

Let $$I$$I be an idealイデアル of a ring $$R$$R. Prove that if $$a+I=a^{\prime }+I$$a+I=a'+I and $$b+I=b^{\prime }+I$$b+I=b'+I, then $$(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$$(a+b)+I=(a'+b')+I and $$ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I$$ab+I=a'b'+I.

8.2解答かいとう

$a^{\prime }-a\in I$a'-a\in I、$b^{\prime }-b\in I$b'-b\in I である。和わについては

である。よって $(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$(a+b)+I=(a'+b')+I である。

積せきについては

である。$I$I はイデアルidealなので $a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$a'(b'-b)\in I、$(a^{\prime }-a)b\in I$(a'-a)b\in I である。したがって $a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$a'b'-ab\in I であり、$$ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I$$ab+I=a'b'+I である。

8.2Answer

We have $$a^{\prime }-a\in I$$a'-a\in I and $$b^{\prime }-b\in I$$b'-b\in I. For addition,

Thus $$(a+b)+I=(a^{\prime }+b^{\prime })+I$$(a+b)+I=(a'+b')+I.

For multiplication,

Since $$I$$I is an idealイデアル, $$a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$$a'(b'-b)\in I and $$(a^{\prime }-a)b\in I$$(a'-a)b\in I. Therefore $$a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$$a'b'-ab\in I, so $$ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I$$ab+I=a'b'+I.

8.3解説かいせつ

イデアルidealの吸収性きゅうしゅうせいは、代表元だいひょうげんを変かえても積せきの類るいが変かわらないことを保証ほしょうする。

8.3Explanation

The absorption property of an idealイデアル guarantees that changing representatives does not change the class of the product.