イデアルと商環しょうかんquotient ring

群ぐんで商群しょうぐんを作つくるには正規部分群せいきぶぶんぐんが必要ひつようだった。環かんで商環しょうかんを作つくるには、正規部分群せいきぶぶんぐんに対応たいおうする役割やくわりを持もつ部分集合ぶぶんしゅうごうが必要ひつようである。それがイデアルidealである。

idealsイデアル and quotient rings商環しょうかん

To construct a quotient group商群しょうぐん from a group, a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん was needed. To construct a quotient ring商環しょうかん from a ring環かん, we need a subset that plays the corresponding role. That subset is an idealイデアル.

1イデアルの定義ていぎ

環かん $$R$$R の部分集合ぶぶんしゅうごう $$I$$I がイデアルであるとは、$$0\in I$$0\in I であり、さらに次つぎを満みたすことである。

$$0\in I$$0\in I により $$I$$I は空からではない。第一だいいち条件じょうけんは、$$I$$I が加法かほうについて部分群ぶぶんぐんであることを表あらわす。第二だいに条件じょうけんは、環かんの任意にんいの元げんを掛かけても $$I$$I の中なかに残のこることを表あらわす。

可換環かかんかんでは $$ra$$ra と $$ar$$ar は同おなじなので、片側かたがわだけ確認かくにんすればよい。

1Definition of an idealイデアル

A subset $$I$$I of a ring $$R$$R is an idealイデアル if $$0\in I$$0\in I and it satisfies the following conditions.

The condition $$0\in I$$0\in I makes $$I$$I nonempty. The first condition says that $$I$$I is a subgroup部分群ぶぶんぐん with respect to addition. The second says that multiplying by any element of the ring still leaves the result inside $$I$$I.

In a commutative ring, $$ra$$ra and $$ar$$ar are the same, so it is enough to check one side.

2何故なぜイデアルが必要ひつようか

商環しょうかんでは、$$I$$I の元げんを 0 とみなす。つまり、$$a$$a と $$b$$b の差さが $$I$$I に属ぞくするとき、同おなじ元げんとして扱あつかう。

$$I$$I は加法部分群かほうぶぶんぐんなので、これは同値関係どうちかんけいである。反射性はんしゃせいは $$a-a=0\in I$$a-a=0\in I から従したがう。$$a-b\in I$$a-b\in I なら $$b-a=-(a-b)\in I$$b-a=-(a-b)\in I なので対称性たいしょうせいを満みたす。また、$$a-b\in I$$a-b\in I、$$b-c\in I$$b-c\in I なら

なので推移性すいいせいも満みたす。

この同値関係どうちかんけいで作つくった同値類どうちるいを使つかい、

と定義ていぎしたい。$$I$$I が加法部分群かほうぶぶんぐんであるもとで、この乗法じょうほうが代表元だいひょうげんによらず定さだまるためには、さらに左右さゆうの吸収性きゅうしゅうせい、すなわちイデアル条件じょうけんが必要ひつようである。

ここでの同値類どうちるいは $$a+I=\{a+i\mid i\in I\}$$a+I=\{a+i\mid i\in I\} と書かける。商環しょうかんでは、これらの類るい全体ぜんたいを元げんとして扱あつかう。

2Why idealsイデアル are necessary

In a quotient ring商環しょうかん, elements of $$I$$I are treated as 0. In other words, $$a$$a and $$b$$b are treated as the same element when their difference belongs to $$I$$I.

Because $$I$$I is an additive subgroup, this is an equivalence relation. Reflexivity follows from $$a-a=0\in I$$a-a=0\in I. If $$a-b\in I$$a-b\in I, then $$b-a=-(a-b)\in I$$b-a=-(a-b)\in I, which gives symmetry. If $$a-b\in I$$a-b\in I and $$b-c\in I$$b-c\in I, then

which gives transitivity.

Using the equivalence classes built from this equivalence relation同値関係どうちかんけい, we want to define

Assuming that $$I$$I is an additive subgroup, absorption from both sides—the remaining ideal condition—is necessary for this multiplication to be independent of representatives.

Here the equivalence class of $$a$$a can be written as $$a+I=\{a+i\mid i\in I\}$$a+I=\{a+i\mid i\in I\}. In a quotient ring, these classes are treated as the elements.

3整数せいすうの例れい

$$n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$$n\mathbb Z=\{nk\mid k\in\mathbb Z\} は $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z のイデアルである。

商環しょうかん

は、整数せいすうを $$n$$n の倍数ばいすうの差さを無視むししてまとめたものである。これは合同式ごうどうしきの世界せかいそのものである。

3Example from the integers

$$n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$$n\mathbb Z=\{nk\mid k\in\mathbb Z\} is an idealイデアル of $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z.

The quotient ring商環しょうかん

groups integers while ignoring differences that are multiples of $$n$$n. This is exactly the world of congruences合同式ごうどうしき.

4商群しょうぐんとの対応たいおう

どちらも、核かくとして潰つぶれる部分ぶぶんを構造こうぞうの単位元たんいげんと同一視どういつしして商しょうを作つくるという点てんで同おなじである。群ぐんでは乗法記法じょうほうきほうの単位元たんいげん $$e$$e、環かんでは加法単位元かほうたんいげん 0 に潰つぶす。

環準同型かんじゅんどうけいと第一同型定理だいいちどうけいていりは後あとで扱あつかう。この表ひょうは、イデアルが後あとで核かくとして現あらわれるという見通みとおしを示しめすためのものである。

4Correspondence with quotient groups商群しょうぐん

In both settings, the part collapsed as a kernel核かく is identified with the relevant identity element to form a quotient. In multiplicative notation, a group kernel collapses to the group identity $$e$$e, whereas a ring kernel collapses to the additive identity 0.

Ring homomorphisms and the first isomorphism theorem are treated later. This table is a roadmap showing that ideals will later appear as kernels.

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

商環しょうかんでは、イデアルの中なかの違ちがいを 0 として潰つぶす。変かわるのは元げんの粒度りゅうどである。一方いっぽうで、加法かほう、乗法じょうほう、分配法則ぶんぱいほうそくは商しょうの上うえでも well-definedwell-defined に保存ほぞんされる。

5What changes and what is preserved

In a quotient ring商環しょうかん, differences inside the idealイデアル are collapsed to 0. What changes is the granularity of elements. On the other hand, addition, multiplication, and distributive laws are preserved on the quotient in a well-defined way.

6証明しょうめい補足ほそく：商環しょうかんの演算えんざんが代表元だいひょうげんによらない理由りゆう

$I$I を環かん $R$R のイデアルideal とする。剰余類じょうよるいの和わと積せきを

で定義ていぎする。この定義ていぎが代表元だいひょうげんに依存いぞんしないことを証明しょうめいする。

$a+I=a^{\prime }+I$a+I=a'+I、$b+I=b^{\prime }+I$b+I=b'+I とする。これは $a^{\prime }-a\in I$a'-a\in I、$b^{\prime }-b\in I$b'-b\in I という意味いみである。和わについては

なので $(a^{\prime }+b^{\prime })+I=(a+b)+I$(a'+b')+I=(a+b)+I である。

積せきについては

である。$b^{\prime }-b\in I$b'-b\in I であり、$I$I は環かんの要素ようそを掛かけても $I$I の中なかに残のこるので $a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$a'(b'-b)\in I である。同おなじく $(a^{\prime }-a)b\in I$(a'-a)b\in I である。したがって $a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$a'b'-ab\in I であり、$a^{\prime }{b}^{\prime }+I=ab+I$a'b'+I=ab+I である。

この証明しょうめいから、イデアルの条件じょうけんは「余あまりの類るいどうしを掛かけても壊こわれない」ための条件じょうけんだと分わかる。

逆ぎゃくに、$$I$$I が加法かほうについて部分群ぶぶんぐんであり、$$(a+I)(b+I)=ab+I$$(a+I)(b+I)=ab+I が代表元だいひょうげんによらず定さだまると仮定かていする。$$i\in I$$i\in I なら $$i+I=0+I$$i+I=0+I なので、任意にんいの $$r\in R$$r\in R について

である。したがって $$ri+I=0+I$$ri+I=0+I、$$ir+I=0+I$$ir+I=0+I、すなわち $$ri,ir\in I$$ri,ir\in I である。よって積せきの well-definedness は左右さゆうの吸収性きゅうしゅうせいを強制きょうせいする。加法部分群かほうぶぶんぐんという条件じょうけんと合あわせると、イデアル条件じょうけんは十分じゅうぶんであるだけでなく必要ひつようでもある。

演算えんざんが well-defined だと分わかったので、環かんの公理こうりも確認かくにんできる。加法単位元かほうたんいげんは $$0+I$$0+I、$$a+I$$a+I の加法逆元かほうぎゃくげんは $$(-a)+I$$(-a)+I、乗法単位元じょうほうたんいげんは $$1+I$$1+I である。たとえば分配法則ぶんぱいほうそくは

となる。加法かほうの結合けつごう・交換法則こうかんほうそく、乗法じょうほうの結合法則けつごうほうそく、もう一方いっぽうの分配法則ぶんぱいほうそくも、$$R$$R の対応たいおうする公理こうりを代表元だいひょうげんに適用てきようすれば従したがう。したがって、これらの演算えんざんをもつ剰余類じょうよるい全体ぜんたい $$R/I$$R/I は環かんである。$$I=R$$I=R のときは $$0+I=1+I$$0+I=1+I となり、この教材きょうざいで環かんに含ふくめている零環れいかんを得える。

6Proof supplement: why quotient-ring operations do not depend on representatives

Let $$I$$I be an idealイデアル of a ring $$R$$R. Define the sum and product of residue classes by

We prove that this definition定義ていぎ does not depend on representatives.

Suppose $$a+I=a^{\prime }+I$$a+I=a'+I and $$b+I=b^{\prime }+I$$b+I=b'+I. This means $$a^{\prime }-a\in I$$a'-a\in I and $$b^{\prime }-b\in I$$b'-b\in I. For addition,

so $$(a^{\prime }+b^{\prime })+I=(a+b)+I$$(a'+b')+I=(a+b)+I.

For multiplication,

Since $$b^{\prime }-b\in I$$b'-b\in I and $$I$$I remains inside itself when multiplied by elements of the ring, $$a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$$a'(b'-b)\in I. Similarly, $$(a^{\prime }-a)b\in I$$(a'-a)b\in I. Therefore $$a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$$a'b'-ab\in I, so $$a^{\prime }{b}^{\prime }+I=ab+I$$a'b'+I=ab+I.

This proof証明しょうめい shows that the idealイデアル condition is exactly the condition needed so that multiplying classes of remainders does not break the quotient.

Conversely, suppose that $$I$$I is an additive subgroup and that $$(a+I)(b+I)=ab+I$$(a+I)(b+I)=ab+I is independent of representatives. If $$i\in I$$i\in I, then $$i+I=0+I$$i+I=0+I. Hence, for every $$r\in R$$r\in R,

Thus $$ri+I=0+I$$ri+I=0+I and $$ir+I=0+I$$ir+I=0+I, so $$ri,ir\in I$$ri,ir\in I. Therefore well-definedness of multiplication forces absorption from both sides. Together with the additive-subgroup condition, the ideal condition is not only sufficient but also necessary.

Now that the operations are well-defined, the ring axioms can also be checked. The additive identity is $$0+I$$0+I, the additive inverse of $$a+I$$a+I is $$(-a)+I$$(-a)+I, and the multiplicative identity is $$1+I$$1+I. For example, distributivity follows from

Associativity and commutativity of addition, associativity of multiplication, and the other distributive law follow by applying the corresponding axiom in $$R$$R to representatives. Therefore the set of residue classes $$R/I$$R/I with these operations is a ring. When $$I=R$$I=R, we have $$0+I=1+I$$0+I=1+I and obtain the zero ring, which this material includes among rings.

7演習えんしゅうリンク

7Exercise link

8まとめ

イデアルは、商環しょうかんを作つくるための部分集合ぶぶんしゅうごうである。商環しょうかんでは、イデアルの元げんを 0 とみなし、残のこった剰余類じょうよるいに加法かほうと乗法じょうほうを入いれる。整数せいすうの $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z は最もっとも基本きほん的てきな商環しょうかんである。

8Summary

An idealイデアル is the kind of subset needed to construct a quotient ring商環しょうかん. In a quotient ring商環しょうかん, elements of the idealイデアル are treated as 0, and addition and multiplication are placed on the remaining residue classes. The ring $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z is the most basic example of a quotient ring商環しょうかん.