群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismと同型どうけいisomorphism

date2026-07-14document_iddoc_56e7c273d30060a1591234a6ff558442description群準同型を、演算を保つ写像として定義し、核・像・同型が何を保存するかを説明する。prerequisites[群/ぐん]の[基本/きほん] / [正規部分群/せいきぶぶんぐん]と[商群/しょうぐん] / [写像/しゃぞう]の[基本/きほん]type講義content_typelecturestatusactive

mathabstract-algebragroup-theorylecture

群ぐんどうしを比くらべるとき、元げんの名前なまえが一致いっちする必要ひつようはない。重要じゅうようなのは、演算えんざんの構造こうぞうが保たもたれることである。この「演算えんざんを保たもつ写像しゃぞう」が群準同型ぐんじゅんどうけいである。

group homomorphisms群準同型ぐんじゅんどうけい and isomorphisms同型どうけい

When comparing groups群ぐん, the names of the elements do not need to match. What matters is that the operation structure is preserved. A map that preserves operations in this way is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい.

1群準同型ぐんじゅんどうけい

群ぐん $G, H$ に対たいして、写像しゃぞう $φ : G \to H$ が群準同型ぐんじゅんどうけいであるとは、任意にんいの $a, b \in G$ について

φ (a b) = φ (a) φ (b)

が成立せいりつすることである。

ここで左辺さへんの積せきは $G$ の演算えんざんであり、右辺うへんの積せきは $H$ の演算えんざんである。記号きごうが同おなじでも、どの群ぐんの演算えんざんかを区別くべつする必要ひつようがある。

1Group homomorphisms準同型じゅんどうけい

For groups $G, H$ , a map $φ : G \to H$ is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい if for all $a, b \in G$ ,

φ (a b) = φ (a) φ (b)

holds.

Here the product on the left is the operation in $G$ , and the product on the right is the operation in $H$ . Even if the same symbol is used, it is necessary to distinguish which group's operation is being used.

2準同型じゅんどうけいが自動的じどうてきに保たもつもの

群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ は単位元たんいげんを単位元たんいげんへ送おくる。

φ (e_{G}) = e_{H}

また、逆元ぎゃくげんを逆元ぎゃくげんへ送おくる。

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

これらは定義ていぎに直接ちょくせつ書かかれていないが、演算えんざんを保たもつことから導みちびかれる。

2What a homomorphism準同型じゅんどうけい automatically preserves

A group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ sends the identity element単位元たんいげん to the identity element単位元たんいげん:

φ (e_{G}) = e_{H}

It also sends inverses to inverses:

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

These facts are not written directly in the definition定義ていぎ, but they follow from preservation of the operation.

3核かくと像ぞう

群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ の核かくkernelを

\ker φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}}

で定義ていぎする。核かくは、写像しゃぞうによって単位元たんいげんに潰つぶれる部分ぶぶんである。

像ぞうimageは

Im φ = {φ (g) ∣ g \in G}

である。像ぞうは、実際じっさいに到達とうたつする元げん全体ぜんたいであり、 $H$ の部分群ぶぶんぐんになる。 $e_{H} = φ (e_{G})$ なので像ぞうは空からでない。実際じっさい、 $x = φ (a)$ 、 $y = φ (b)$ が像ぞうに属ぞくするなら

x y^{- 1} = φ (a) φ (b)^{- 1} = φ (a b^{- 1})

も像ぞうに属ぞくするので、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうを使つかえる。

3Kernel and image像ぞう

The kernel核かく of a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ is defined by

\ker φ = {g \in G ∣ φ (g) = e_{H}}

The kernel核かく is the part collapsed to the identity element単位元たんいげん by the map.

The image像ぞう is

Im φ = {φ (g) ∣ g \in G}

It is the set of all elements actually reached by the map.

The image is a subgroup of $H$ . It is nonempty because $e_{H} = φ (e_{G})$ lies in the image. If $x = φ (a)$ and $y = φ (b)$ lie in the image, then

x y^{- 1} = φ (a) φ (b)^{- 1} = φ (a b^{- 1})

also lies in the image, so the subgroup criterion applies.

4同型どうけい

群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ が全単射ぜんたんしゃであるとき、群ぐん同型どうけいという。このとき $G$ と $H$ は群ぐんとして同おなじ構造こうぞうを持もつ。

G ≅ H

と書かく。

同型どうけいでは、元げんの名前なまえは変かわる。演算表えんざんひょうを文字通もじどおり同おなじ並ならびで保存ほぞんするのではなく、行ぎょう・列れつの見出みだしと各成分かくせいぶんを $φ$ で対応たいおうする元げんに置おき換かえると、二ふたつの演算表えんざんひょうは一致いっちする。これは $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ そのものである。

その結果けっか、単位元たんいげん、逆元ぎゃくげん、部分群ぶぶんぐんの包含関係ほうがんかんけい、群ぐんの位数いすう、および各元かくげんの位数いすうなどの群論的性質ぐんろんてきせいしつが保存ほぞんされる。

これらを確たしかめる。 $K [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ なら $φ (K)$ は空からでなく、 $a, b \in K$ に対たいして

φ (a) φ (b)^{- 1} = φ (a b^{- 1}) \in φ (K)

なので、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうより $φ (K) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ である。逆ぎゃくに $L [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ なら、逆像ぎゃくぞう

φ^{- 1} (L) = {g \in G ∣ φ (g) \in L}

も同おなじ判定法はんていほうで $G$ の部分群ぶぶんぐんになる。 $φ$ は全単射ぜんたんしゃなので、 $K \mapsto φ (K)$ と $L \mapsto φ^{- 1} (L)$ は互たがいに逆ぎゃくであり、

K_{1} \subseteq K_{2} ⟺ φ (K_{1}) \subseteq φ (K_{2})

である。したがって部分群ぶぶんぐんの包含関係ほうがんかんけいが保存ほぞんされる。

また、全単射ぜんたんしゃは $G$ と $H$ の元げんを一対一いちたいいちに対応たいおうさせるので、 $| G | = | H |$ である。 $m [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ については、 $m = 0$ のときの $φ (e_{G}) = e_{H}$ を出発点しゅっぱつてんとし、

φ (g^{m + 1}) = φ (g^{m} g) = φ (g^{m}) φ (g)

を使つかう帰納法きのうほうにより $φ (g^{m}) = φ (g)^{m}$ である。 $m = - n < 0$ なら、逆元ぎゃくげんの保存ほぞんから

φ (g^{- n}) = φ ((g^{- 1})^{n}) = φ (g^{- 1})^{n} = φ (g)^{- n}

となる。したがって任意にんいの $m \in Z$ について $φ (g^{m}) = φ (g)^{m}$ であり、単射性たんしゃせいから

g^{m} = e_{G} ⟺ φ (g)^{m} = e_{H}

となる。よって $g$ と $φ (g)$ は、有限位数ゆうげんいすうなら同おなじ最小さいしょうの正せいの指数しすうを持もち、そのような指数しすうがなければどちらも無限位数むげんいすうである。

4Isomorphisms

A group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい $φ : G \to H$ is a group isomorphism同型どうけい when it is bijective. In that case, $G$ and $H$ have the same structure as groups.

G ≅ H

In an isomorphism同型どうけい, the names of elements may change. The operation tables are not literally preserved in their original order; after relabeling every row, column, and entry via $φ$ , the two operation tables agree. This is exactly the law $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ .

Consequently, the identity, inverses, inclusion relations among subgroups, the order of the group, the order of each element, and other group-theoretic properties are preserved.

Let us verify these claims. If $K [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ , then $φ (K)$ is nonempty, and for $a, b \in K$ ,

φ (a) φ (b)^{- 1} = φ (a b^{- 1}) \in φ (K) .

The subgroup criterion therefore gives $φ (K) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ . Conversely, if $L [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ , the preimage

φ^{- 1} (L) = {g \in G ∣ φ (g) \in L}

is a subgroup of $G$ by the same criterion. Since $φ$ is bijective, the assignments $K \mapsto φ (K)$ and $L \mapsto φ^{- 1} (L)$ are inverse to each other, and

K_{1} \subseteq K_{2} ⟺ φ (K_{1}) \subseteq φ (K_{2}) .

Thus inclusion relations among subgroups are preserved.

A bijection also pairs the elements of $G$ and $H$ one-to-one, so $| G | = | H |$ . For $m [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ , induction starting from $φ (e_{G}) = e_{H}$ and using

φ (g^{m + 1}) = φ (g^{m} g) = φ (g^{m}) φ (g)

gives $φ (g^{m}) = φ (g)^{m}$ . If $m = - n < 0$ , preservation of inverses gives

φ (g^{- n}) = φ ((g^{- 1})^{n}) = φ (g^{- 1})^{n} = φ (g)^{- n} .

Thus $φ (g^{m}) = φ (g)^{m}$ for every $m \in Z$ , and injectivity gives

g^{m} = e_{G} ⟺ φ (g)^{m} = e_{H} .

Thus, when $g$ has finite order, $g$ and $φ (g)$ have the same least positive exponent; if no such exponent exists, both elements have infinite order.

5具体例ぐたいれい

$φ : Z \to Z / n Z$ を

φ (k) = [k]

で定さだめる。これは群準同型ぐんじゅんどうけいである。

φ (a + b) = [a + b] = [a] + [b]

だからである。この写像しゃぞうの核かくは

\ker φ = n Z

である。

5Concrete example

Define $φ : Z \to Z / n Z$ by

φ (k) = [k]

This is a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい because

φ (a + b) = [a + b] = [a] + [b]

The kernel核かく of this map is

\ker φ = n Z

6証明しょうめい補足ほそく：準同型じゅんどうけいが保存ほぞんするもの

$φ : G \to H$ を群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphism とする。このとき

φ (e_{G}) = e_{H}, φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

である。

まず $φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})$ である。左ひだりから $φ (e_{G})^{- 1}$ を掛かけると $e_{H} = φ (e_{G})$ である。つぎに

e_{H} = φ (e_{G}) = φ (g g^{- 1}) = φ (g) φ (g^{- 1})

なので、 $φ (g^{- 1})$ は $φ (g)$ の逆元ぎゃくげんである。よって $φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}$ である。

さらに、核かくkernel $\ker φ$ は $G$ の正規部分群せいきぶぶんぐんである。 $a, b \in \ker φ$ なら

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H} e_{H^{- 1}} = e_{H}

なので $a b^{- 1} \in \ker φ$ であり、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうから部分群ぶぶんぐんである。また $g \in G$ 、 $a \in \ker φ$ について

φ (g a g^{- 1}) = φ (g) φ (a) φ (g)^{- 1} = φ (g) e_{H} φ (g)^{- 1} = e_{H}

なので $g a g^{- 1} \in \ker φ$ である。したがって核かくは正規せいきである。

最後さいごに、 $φ$ が単射たんしゃであることと $\ker φ = {e_{G}}$ は同値どうちである。 $φ$ が単射たんしゃなら、 $φ (g) = e_{H} = φ (e_{G})$ から $g = e_{G}$ である。逆ぎゃくに $\ker φ = {e_{G}}$ とし、 $φ (g_{1}) = φ (g_{2})$ とする。すると

φ (g_{1} g_{2^{- 1}}) = e_{H}

なので $g_{1} g_{2^{- 1}} \in \ker φ$ 、したがって $g_{1} g_{2^{- 1}} = e_{G}$ である。よって $g_{1} = g_{2}$ であり、 $φ$ は単射たんしゃである。

6Proof supplement: what homomorphisms準同型じゅんどうけい preserve

Let $φ : G \to H$ be a group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい. Then

φ (e_{G}) = e_{H}, φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

First, $φ (e_{G}) = φ (e_{G} e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})$ . Multiplying by $φ (e_{G})^{- 1}$ from the left gives $e_{H} = φ (e_{G})$ . Next,

e_{H} = φ (e_{G}) = φ (g g^{- 1}) = φ (g) φ (g^{- 1})

so $φ (g^{- 1})$ is the inverse of $φ (g)$ . Hence $φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}$ .

Moreover, the kernel核かく $\ker φ$ is a normal subgroup正規部分群せいきぶぶんぐん of $G$ . If $a, b \in \ker φ$ , then

φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H} e_{H^{- 1}} = e_{H}

so $a b^{- 1} \in \ker φ$ , and the subgroup部分群ぶぶんぐん criterion gives that it is a subgroup部分群ぶぶんぐん. Also, for $g \in G$ and $a \in \ker φ$ ,

φ (g a g^{- 1}) = φ (g) φ (a) φ (g)^{- 1} = φ (g) e_{H} φ (g)^{- 1} = e_{H}

so $g a g^{- 1} \in \ker φ$ . Thus the kernel核かく is normal.

Finally, $φ$ is injective単射たんしゃ if and only if $\ker φ = {e_{G}}$ . If $φ$ is injective単射たんしゃ, then $φ (g) = e_{H} = φ (e_{G})$ implies $g = e_{G}$ . Conversely, suppose $\ker φ = {e_{G}}$ and $φ (g_{1}) = φ (g_{2})$ . Then

φ (g_{1} g_{2^{- 1}}) = e_{H}

so $g_{1} g_{2^{- 1}} \in \ker φ$ , hence $g_{1} g_{2^{- 1}} = e_{G}$ . Therefore $g_{1} = g_{2}$ , and $φ$ is injective単射たんしゃ.

7演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/homomorphisms-and-isomorphisms.exercise.n.md

7Exercise link

data/exercise/math/abstract-algebra/homomorphisms-and-isomorphisms.exercise.n.md

8まとめ

群準同型ぐんじゅんどうけいは演算えんざんを保たもつ写像しゃぞうである。核かくは潰つぶれる部分ぶぶん、像ぞうは到達とうたつする部分ぶぶんである。同型どうけいは構造こうぞうを完全かんぜんに保存ほぞんする準同型じゅんどうけいであり、抽象代数ちゅうしょうだいすうで「本質的ほんしつてきに同おなじ」を表あらわす。

8Summary

A group homomorphism群準同型ぐんじゅんどうけい is a map that preserves operations. The kernel核かく is the part that is collapsed, and the image像ぞう is the part that is reached. An isomorphism同型どうけい is a homomorphism準同型じゅんどうけい that preserves structure completely, expressing the idea of being essentially the same in abstract algebra抽象代数ちゅうしょうだいすう.