不等式ふとうしきの基本きほん

date2026-03-27description不等式を、大小関係を保つ変形と場合分けの見方から整理し、二次不等式や文字の条件つき変形まで説明します。prerequisites一次方程式 / 二次関数の基本 / 数の大小関係type講義statusactive

mathalgebrahighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、等式とうしきと同おなじ感覚かんかくで変形へんけいせず、どの操作そうさが大小関係だいしょうかんけいを保たもち、どの操作そうさで向むきが変かわるかを意識いしきすることです。

不等式ふとうしきで誤あやまりやすいのは、両辺りょうへんを負ふの数かずで掛かけたり割わったりしても、そのまま不等号ふとうごうの向むきを変かえないことです。この講義こうぎでは、変形へんけいの可否かひと場合分ばあいわけを中心ちゅうしんに整理せいりします。

用語ようごと定義ていぎ

不等式ふとうしきInequality とは、2 つの量りょうの大小関係だいしょうかんけいを $<, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")], >, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")]$ で表あらわしたものです。

方針ほうしん

まず、等式とうしきと同おなじように足たしてよいか、掛かけてよいかを確認かくにんします。そのあと、式しきの符号ふごうが変かわりうる場所ばしょでは場合分ばあいわけをします。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

不等式ふとうしきは「数直線すうちょくせんのどちら側がわにあるか」を表あらわしています。だから負ふの数かずを掛かけると、数直線すうちょくせんを 0 を中心ちゅうしんに裏返うらがえすことになり、向むきが逆ぎゃくになります。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 保たもたれる操作そうさ

$a < b$ のとき、どんな実数じっすう $c$ に対たいしても

a + c < b + c

です。また $c > 0$ なら

a c < b c

です。

2. 向むきが変かわる操作そうさ

$c < 0$ なら

a c > b c

です。したがって、負ふの数かずで掛かけたり割わったりするときは、不等号ふとうごうの向むきが反転はんてんします。

3. 二次にじ不等式ふとうしき

たとえば

x^{2} - 3 x + 2 > 0

は

(x - 1) (x - 2) > 0

と因数分解いんすうぶんかいできるので、積せきが正せいになる範囲はんいを考かんがえます。これはグラフで見みれば、放物線ほうぶつせんが $x$ 軸じくより上うえにある範囲はんいです。

別べつの見方みかた

代数的だいすうてきには因数分解いんすうぶんかいや変形へんけいで符号ふごうを追おう分野ぶんやです。図形的ずけいてきには、数直線すうちょくせんやグラフのどちら側がわにあるかを見みる分野ぶんやです。

見分みわけ方かた

文字もじで割わるときは、その文字もじの符号ふごうが確定かくていしているかを先さきに確認かくにんします。
二次にじ不等式ふとうしきが出でたら、因数分解いんすうぶんかいかグラフで範囲はんいを見みます。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 負の数を掛ける・割ると不等号は反転する

一言ひとことでいうと

不等式ふとうしきでは、変形へんけいそのものよりも「その変形へんけいが大小関係だいしょうかんけいをどう変かえるか」を見みることが大切たいせつです。