二次関数にじかんすうの基本きほん

date2026-03-27description二次関数を、グラフの形を平方完成で読む見方から整理し、頂点・軸・最大最小と方程式不等式のつながりまで説明します。prerequisites平方完成 / 一次関数 / 座標平面の基本type講義statusactive

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導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、二次関数にじかんすうを $y = a x^{2} + b x + c$ の係数けいすうだけで見みるのでなく、平方完成へいほうかんせいして頂点ちょうてんと軸じくを読よむことです。

二次関数にじかんすうの問題もんだいは、最大値さいだいち・最小値さいしょうち、共有点きょうゆうてん、不等式ふとうしきなど見みかけが違ちがっても、結局けっきょくは放物線ほうぶつせんの位置いちと向むきを見みています。この講義こうぎでは、その見方みかたを固かためます。

二次関数にじかんすうQuadratic function とは、 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ の形かたちの関数かんすうです。

頂点ちょうてんVertex とは、放物線ほうぶつせんの向むきが切きり替かわる点てんです。

まず平方完成へいほうかんせいで

y = a (x - p)^{2} + q

の形かたちへ直なおします。すると頂点ちょうてん $(p, q)$ 、軸じく $x = p$ 、開ひらく向むきがすぐ見みえます。そのうえで方程式ほうていしきや不等式ふとうしきをグラフの交点こうてんや上下関係じょうげかんけいとして読よみます。

二次関数にじかんすうは「U 字じか逆向ぎゃくむきの U 字じの曲線きょくせん」です。だから、真まん中なかにある頂点ちょうてんがどこか、どちら向むきに開ひらくかが分わかれば、増減ぞうげんも最大最小さいだいさいしょうもかなり決きまります。

y = a x^{2} + b x + c

を平方完成へいほうかんせいすると

y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

です。したがって頂点ちょうてんは

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})

です。

$a > 0$ なら下したに凸とつなので最小値さいしょうちを持もち、 $a < 0$ なら上うえに凸とつなので最大値さいだいちを持もちます。つまり、係数けいすう $a$ の符号ふごうで上下じょうげの向むきが決きまります。

a x^{2} + b x + c = 0

は、放物線ほうぶつせんと $x$ 軸じくの交点こうてんを問とう式しきです。また

a x^{2} + b x + c > 0

は、放物線ほうぶつせんが $x$ 軸じくより上うえにある部分ぶぶんを問とっています。

計算けいさんとしては平方完成へいほうかんせいで頂点ちょうてんを出だす分野ぶんやです。図形ずけいとしては、放物線ほうぶつせんの位置いちと軸じくを読よんで問題もんだいを解とく分野ぶんやです。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y = a (x - p)^{2} + q