原始関数げんしかんすうantiderivativeと不定積分ふていせきぶんindefinite integral

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、不定積分ふていせきぶんindefinite integralを面積めんせきではなく、微分びぶんdifferentiationの逆向ぎゃくむきの問題もんだいとして理解りかいすることである。

$$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) を満みたす $$F$$F を $$f$$f の原始関数げんしかんすうantiderivativeという。

積分定数せきぶんていすう

$$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) なら、任意にんいの定数ていすう $$C$$C について $$(F+C{)}^{\prime }=f$$(F+C)'=f である。したがって

と書かく。この $$C$$C を積分定数せきぶんていすうconstant of integrationという。

定積分ていせきぶんdefinite integralとの違ちがい

定積分ていせきぶんdefinite integralは端点たんてんを持もつ数かずである。不定積分ふていせきぶんindefinite integralは原始関数げんしかんすうantiderivativeの集合しゅうごうである。この違ちがいを曖昧あいまいにすると、面積めんせきと関数かんすうを混同こんどうする。

具体例ぐたいれい

$$f\left(x\right)=2x$$f(x)=2x の原始関数げんしかんすうantiderivativeは $$F\left(x\right)=x^2$$F(x)=x^2 である。したがって

である。この例れいでは、答こたえが 1 つの関数かんすうではなく、定数差ていすうさだけ異ことなる関数族かんすうぞくであることを確認かくにんしている。

演習えんしゅうリンク

関連かんれんリンク