Euler 法ほうの次つぎに何なにが来くるか：Runge-Kutta と陰的方法いんてきほうほうの入口いりぐち

date2026-05-26descriptionEuler 法の限界を、Runge-Kutta 法による高次精度と陰的方法による安定性の補強へ接続する入口である。prerequisites方向場・Euler 法 / 微分法の基本type講義statusactive

mathdifferential-equationsnumerical-methodslecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Euler 法ほうの欠点けってんを精度せいどと安定性あんていせいに分解ぶんかいし、それぞれに対たいして Runge-Kutta 法ほうと陰的方法いんてきほうほうが対応たいおうすることを確認かくにんすることである。

何なにを解とくページか

対象たいしょうは初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = f (t, y), y (t_{0}) = y_{0}

である。Euler 法ほうは $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})$ であるが、局所情報きょくしょじょうほうを 1 回かいしか利用りようしないため精度せいどが低ひくく、剛性ごうせいのある問題もんだいでは安定性あんていせいも不足ふそくする。

ここで精度せいどと安定性あんていせいを分離ぶんりすることが重要じゅうようである。精度せいどは「真しんの解かいにどれだけ近ちかいか」を測はかる。安定性あんていせいは「本来ほんらい減衰げんすいすべき成分せいぶんを、数値計算すうちけいさんが人工的じんこうてきに増幅ぞうふくしないか」を測はかる。高次精度こうじせいどの方法ほうほうでも、刻きざみ幅はばが安定条件あんていじょうけんを破やぶれば破綻はたんする。

Runge-Kutta 法ほうの発想はっそう

Runge-Kutta 法ほうは、区間内くかんないの複数ふくすうの傾かたむきを評価ひょうかし、それらを平均へいきんして次点じてんを構成こうせいする。代表だいひょうである 4 次じ Runge-Kutta 法ほうは

\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\ k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \end{aligned}\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\ k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \end{aligned}

で与あたえられる。目的もくてきは、区間くかんの途中とちゅうの傾かたむきも反映はんえいし、Taylor 展開てんかいの高次項こうじこうまで整合せいごうさせることである。

陰的方法いんてきほうほうの発想はっそう

Backward Euler 法ほうは

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n + 1}, y_{n + 1})

である。右辺うへんに未知みちの $y_{n + 1}$ が含ふくまれるため、各段階かくだんかいで方程式ほうていしきを解とく必要ひつようがある。その代かわり、 $y^{'} = a y, a < 0$ のような減衰問題げんすいもんだいで安定性あんていせいが強つよい。

この方法ほうほうを選択せんたくする理由りゆうは、新あたらしい時刻じこくの傾かたむきを用もちいることで、減衰げんすいする解かいの向むきを数値的すうちてきに尊重そんちょうしやすくなるためである。代償だいしょうとして、線型問題せんけいもんだいでは連立一次方程式れんりついちじほうていしき、非線型問題ひせんけいもんだいでは Newton 法ほうなどの反復解法はんぷくかいほうが必要ひつようになる。

具体例ぐたいれい

$y^{'} = - 10 y$ に対たいして Forward Euler 法ほうは $y_{n + 1} = (1 - 10 h) y_{n}$ である。 $h = 0.3$ では倍率ばいりつが $- 2$ となり不安定ふあんていである。一方いっぽう、Backward Euler 法ほうは

y_{n + 1} = y_{n} - 10 h y_{n + 1}

より

y_{n + 1} = \frac{1}{1 + 10 h} y_{n}

となり、任意にんいの $h > 0$ で減衰げんすいする。

この例れいでは、真しんの解かい $e^{- 10 t}$ は単調減衰たんちょうげんすいする。Forward Euler 法ほうで $h = 0.3$ を採用さいようすると、倍率ばいりつが $- 2$ となるため、符号ふごうを反転はんてんしながら絶対値ぜったいちが増加ぞうかする。これは微分方程式びぶんほうていしきの性質せいしつではなく、数値法すうちほうが生成せいせいした人工的挙動じんこうてききょどうである。

選択基準せんたくきじゅん

状況じょうきょう	候補こうほ	理由りゆう
滑なめらかで非剛性ひごうせいの問題もんだい	Runge-Kutta 法ほう	少すくない実装負担じっそうふたんで高次精度こうじせいどを得えやすい
急速減衰きゅうそくげんすいと遅おそい成分せいぶんが混在こんざいする剛性問題ごうせいもんだい	陰的方法いんてきほうほう	安定性あんていせいを確保かくほしやすい
精度検証せいどけんしょうが必要ひつような計算けいさん	刻きざみ幅はばの半減比較はんげんひかく	誤差ごさの減少傾向げんしょうけいこうを確認かくにんできる

どこまで成なり立たつか

Runge-Kutta 法ほうは精度せいどを改善かいぜんする標準手段ひょうじゅんしゅだんであるが、剛性ごうせいの強つよい問題もんだいでは刻きざみ幅はばを極端きょくたんに小ちいさく要求ようきゅうすることがある。陰的方法いんてきほうほうは安定性あんていせいに強つよいが、各段階かくだんかいの非線型方程式ひせんけいほうていしきを解とく負担ふたんが増加ぞうかする。

演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/存在一意性と数値解法-基本演習.n.md