商集合しょうしゅうごうquotient setと自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection

Quotient sets商集合しょうしゅうごう and the canonical projection自然な射影

1導入どうにゅう

同値関係どうちかんけいequivalence relationで対象たいしょうobjectを分類ぶんるいしたら、次つぎに考かんがえるべき問といは「分類ぶんるいされた箱はこそのものを元げんelementとして扱あつかえるか」である。この発想はっそうが商集合しょうしゅうごうquotient setである。

商集合しょうしゅうごうquotient setでは、個々ここの元げんelementではなく、同値類どうちるいequivalence classを 1 つの対象たいしょうobjectとして扱あつかう。つまり、細こまかい違ちがいを忘わすれ、同値どうちと見みなすものを同おなじ点てんpointへ潰つぶす。

商集合しょうしゅうごうquotient setでは、個々ここの元げんelementをそのまま見みるのではなく、同値類どうちるいequivalence classを 1 つの新あたらしい元げんelementとして扱あつかう。同おなじ同値類どうちるいに入はいる代表元だいひょうげんは、商しょうの世界せかいでは区別くべつされない。

1Introduction

After classifying objects対象たいしょう by an equivalence relation同値関係どうちかんけい, the next question is whether the resulting boxes themselves can be treated as elements元げん. This idea is the quotient set商集合しょうしゅうごう.

In a quotient set, individual elements are replaced by equivalence classes同値類どうちるい as the new objects. In other words, it forgets fine distinctions and collapses equivalent objects to the same point点てん.

2用語ようごと定義ていぎ

集合しゅうごうset $$A$$A 上うえの同値関係どうちかんけいequivalence relation $$\sim$$\sim に対たいして、商集合しょうしゅうごうquotient set $$A/\sim$$A/{\sim} を

で定義ていぎする。ここで $$\left[a\right]$$[a] は $$a$$a の同値類どうちるいequivalence classである。

順序上じゅんじょじょうの注意ちゅういとして、写像しゃぞうmapの正式せいしきな講義こうぎは後あとにある。このページでは、$$\pi :A\to A/\sim$$\pi:A\to A/{\sim} を「各かく $$a\in A$$a\in A に $$\left[a\right]$$[a] を割わり当あてる規則きそく」という最小限さいしょうげんの意味いみで使つかう。

自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection $$\pi :A\to A/\sim$$\pi:A\to A/{\sim} を

で定義ていぎする。これは各かく元げんelementを、その元げんelementが属ぞくする同値類どうちるいequivalence classへ送おくる写像しゃぞうmapである。

2Terms and definitions

For an equivalence relation同値関係どうちかんけい $$\sim$$\sim on a set集合しゅうごう $$A$$A, define the quotient set商集合しょうしゅうごう $$A/\sim$$A/{\sim} by

Here $$\left[a\right]$$[a] is the equivalence class同値類どうちるい of $$a$$a.

Order note: the formal lecture on maps写像しゃぞう appears later. On this page, $$\pi :A\to A/\sim$$\pi:A\to A/{\sim} is used only in the minimal sense of a rule assigning $$\left[a\right]$$[a] to each $$a\in A$$a\in A.

The canonical projection自然な射影 $$\pi :A\to A/\sim$$\pi:A\to A/{\sim} is defined by

It is the map写像しゃぞう sending each element元げん to the equivalence class containing it.

3方針ほうしん

商集合しょうしゅうごうquotient setを扱あつかうときは、代表元だいひょうげんrepresentativeと同値類どうちるいequivalence classを区別くべつする。$$a$$a は $$A$$A の元げんelementであり、$$\left[a\right]$$[a] は $$A/\sim$$A/{\sim} の元げんelementである。

さらに、商集合しょうしゅうごうquotient set上うえで写像しゃぞうmapを定義ていぎするときは、well-defined 性well-definednessを確認かくにんする。同おなじ同値類どうちるいequivalence classを別べつの代表元だいひょうげんで書かいても、定義ていぎした値あたいvalueが変かわらないことを示しめす必要ひつようがある。

手順てじゅんとして、まず関係かんけいが同値関係どうちかんけいequivalence relationであることを確認かくにんし、次つぎに同値類どうちるいequivalence classを作つくる。自然しぜんな射影しゃえいnatural projectionは、各かく元げんelementをその元げんが属ぞくする同値類どうちるいへ送おくる。

3Strategy

When working with a quotient set商集合しょうしゅうごう, distinguish a representative代表元だいひょうげん from an equivalence class同値類どうちるい. The object $$a$$a is an element元げん of $$A$$A, while $$\left[a\right]$$[a] is an element of $$A/\sim$$A/{\sim}.

When defining a map写像しゃぞう on a quotient set, check well-definednesswell-defined 性. Even if the same equivalence class is written using a different representative, the defined value値あたい must not change.

As a procedure, first check that the relation is an equivalence relation同値関係どうちかんけい, and then form the equivalence classes同値類どうちるい. The canonical projection自然な射影 sends each element元げん to the equivalence class containing it.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

商集合しょうしゅうごうquotient setは、分類ぶんるいされた箱はこの集合しゅうごうである。自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは、各かく元げんelementを「その入はいっている箱はこ」へ送おくる。

たとえば整数せいすうを 3 で割わった余あまりで分類ぶんるいすると、商集合しょうしゅうごうquotient setは

である。ここで $$\left[1\right]=\left[4\right]=[-2]$$[1]=[4]=[-2] である。代表元だいひょうげんは違ちがっても、表あらわしている同値類どうちるいequivalence classは同おなじである。

同値類どうちるいequivalence classは箱はことして考かんがえるとよい。代表元だいひょうげんを選えらんで計算けいさんしてもよいが、結果けっかが代表元だいひょうげんの選えらび方かたに依存いぞんしないこと、つまりwell-defined 性well-definednessを確認かくにんする必要ひつようがある。

4Intuitive explanation

A quotient set商集合しょうしゅうごう is the set of the boxes produced by classification. The canonical projection自然な射影 sends each element元げん to “the box it belongs to.”

For example, if integers are classified by remainders modulo $$3$$3, the quotient set is

Here $$\left[1\right]=\left[4\right]=[-2]$$[1]=[4]=[-2]. The representatives代表元だいひょうげん differ, but the equivalence class同値類どうちるい they denote is the same.

It is useful to think of an equivalence class同値類どうちるい as a box. One may compute using a chosen representative代表元だいひょうげん, but one must check that the result does not depend on which representative was chosen; this is the check of well-definednesswell-defined 性.

5well-defined 性well-definednessとは何なにか

商集合しょうしゅうごうquotient setでは、1 つの元げんelementが複数ふくすうの代表元だいひょうげんで書かける。したがって、$$F\left(\right[a\left]\right)$$F([a]) のように定義ていぎするとき、$$a\sim b$$a\sim b なら $$F\left(\right[a\left]\right)=F\left(\right[b\left]\right)$$F([a])=F([b]) であることを確認かくにんしなければならない。

この確認かくにんをwell-defined 性well-definednessの確認かくにんという。well-defined 性well-definednessが失敗しっぱいすると、同おなじ商集合しょうしゅうごうquotient setの元げんelementに対たいして、代表元だいひょうげんの選えらび方かたによって異ことなる値あたいvalueが出でてしまう。

well-defined 性well-definednessを示しめすには、同値どうちな 2 つの代表元だいひょうげんを取とり、それらから得えられる値あたいや同値類どうちるいが同おなじになることを証明しょうめいする。代表元だいひょうげんを 1 つだけ計算けいさんするだけでは不十分ふじゅうぶんである。

5What is well-definednesswell-defined 性?

In a quotient set商集合しょうしゅうごう, one element元げん can be written using several representatives代表元だいひょうげん. Therefore, when defining something like $$F\left(\right[a\left]\right)$$F([a]), one must check that if $$a\sim b$$a\sim b, then $$F\left(\right[a\left]\right)=F\left(\right[b\left]\right)$$F([a])=F([b]).

This check is the check of well-definednesswell-defined 性. If well-definedness fails, the same element of the quotient set can receive different values値あたい depending on the chosen representative.

To prove well-definednesswell-defined 性, take two equivalent representatives and prove that the values or equivalence classes obtained from them are the same. Computing with only one representative is not enough.

6例題れいだい：自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection

6.1問題もんだい

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z 上うえで $$a\sim b$$a\sim b を「$$a-b$$a-b が 3 の倍数ばいすうである」と定義ていぎする。このとき自然しぜんな射影しゃえいcanonical projection $$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/\sim$$\pi:\mathbb Z\to\mathbb Z/{\sim} の $$\pi \left(5\right)$$\pi(5) と $$\pi (-1)$$\pi(-1) を求もとめよ。

6Worked example: the canonical projection自然な射影

6.1Problem

On $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, define $$a\sim b$$a\sim b to mean that $$a-b$$a-b is a multiple of $$3$$3. Find $$\pi \left(5\right)$$\pi(5) and $$\pi (-1)$$\pi(-1) for the canonical projection自然な射影 $$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/\sim$$\pi:\mathbb Z\to\mathbb Z/{\sim}.

6.2解説かいせつ

自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは $$\pi \left(a\right)=\left[a\right]$$\pi(a)=[a] である。したがって

である。$$5\sim 2$$5\sim2 かつ $$5\sim -1$$5\sim -1 なので、これは $$\left[2\right]$$[2] や $$[-1]$$[-1] と同おなじ同値類どうちるいequivalence classである。

また

であり、$$[-1]=\left[2\right]=\left[5\right]$$[-1]=[2]=[5] である。したがって $$\pi \left(5\right)=\pi (-1)$$\pi(5)=\pi(-1) である。この例れいは、自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionが同値どうちな元げんelementを同おなじ同値類どうちるいequivalence classへ潰つぶすことを示しめしている。

6.2Explanation

The canonical projection自然な射影 is $$\pi \left(a\right)=\left[a\right]$$\pi(a)=[a]. Therefore

Since $$5\sim 2$$5\sim2 and $$5\sim -1$$5\sim -1, this is the same equivalence class同値類どうちるい as $$\left[2\right]$$[2] and $$[-1]$$[-1].

Also

and $$[-1]=\left[2\right]=\left[5\right]$$[-1]=[2]=[5]. Therefore $$\pi \left(5\right)=\pi (-1)$$\pi(5)=\pi(-1). This example shows that the canonical projection collapses equivalent elements元げん to the same equivalence class.

7見分みわけ方かたと関連かんれんリンク

• 同値関係どうちかんけいequivalence relationで分類ぶんるいした箱はこを元げんelementとして扱あつかうなら、商集合しょうしゅうごうquotient setを考かんがえる。
• $$a$$a と $$\left[a\right]$$[a] を区別くべつする。前者ぜんしゃは元もとの集合しゅうごうsetの元げんelement、後者こうしゃは商集合しょうしゅうごうquotient setの元げんelementである。
• 商集合しょうしゅうごうquotient set上うえで代表元だいひょうげんを使つかって写像しゃぞうmapを定義ていぎするなら、well-defined 性well-definednessを確認かくにんする。
• 自然しぜんな射影しゃえいcanonical projectionは、各かく元げんelementをその同値類どうちるいequivalence classへ送おくる。

7How to identify it and related links

• If boxes formed by an equivalence relation同値関係どうちかんけい are treated as elements元げん, think of a quotient set商集合しょうしゅうごう.
• Distinguish $$a$$a from $$\left[a\right]$$[a]. The former is an element of the original set集合しゅうごう, while the latter is an element of the quotient set.
• If a map写像しゃぞう on a quotient set is defined using representatives, check well-definednesswell-defined 性.
• The canonical projection自然な射影 sends each element to its equivalence class同値類どうちるい.