1導入
集合族を導入する理由は、2 つや 3 つの集合だけでなく、多数の集合を一括して扱うためである。たとえば、開区間 (-1/n,1/n) を n=1,2,3,\dots について考えるとき、A_n=(-1/n,1/n) と置いて「A_n の全体」として扱うほうが見通しがよい。
ここで重要なのは、添字は集合そのものではなく、集合を指す名札であるという点である。
集合族では、添字は集合を呼び出すための名前であり、添字そのものが対象集合の元であるとは限らない。この区別により、同じ形の集合を規則的に扱える。
1Introduction
A family of sets is introduced to handle many sets at once, not only two or three. For example, when considering the open intervals (-1/n,1/n) for n=1,2,3,\dots, it is clearer to write A_n=(-1/n,1/n) and treat all the A_n together.
The important point is that an index is not usually an element of the set itself; it is a label pointing to a set.
2用語と定義
添字集合 I に対して、各 i\in I に集合 A_i が対応しているとき、(A_i)_{i\in I} を集合族という。
集合族 (A_i)_{i\in I} の和集合を
\bigcup_{i\in I}A_i=\{x\mid \text{ある }i\in I\text{ が存在して }x\in A_i\}
で定義する。集合族の共通部分を
\bigcap_{i\in I}A_i=\{x\mid \text{すべての }i\in I\text{ について }x\in A_i\}
で定義する。
2Terms and definitions
Given an index set I, if each i\in I is assigned a set A_i, then (A_i)_{i\in I} is called a family of sets.
The union of the family is defined by
\bigcup_{i\in I}A_i=\{x\mid \text{there exists }i\in I\text{ such that }x\in A_i\}.
The intersection of the family is defined by
\bigcap_{i\in I}A_i=\{x\mid \text{for every }i\in I,\ x\in A_i\}.
3方針
添字付き和集合では、「ある i が存在する」を探す。添字付き共通部分では、「すべての i について」を確認する。この存在と全称の違いが、証明の進め方を決める。
たとえば x\in\bigcup_{i\in I}A_i と分かっているなら、ある i_0\in I が存在して x\in A_{i_0} である。一方、x\in\bigcap_{i\in I}A_i と分かっているなら、任意の i\in I について x\in A_i である。
3Method
For an indexed union, look for “there exists an index.” For an indexed intersection, check “for every index.” This difference between existence and universality determines the proof strategy.
For example, if x\in\bigcup_{i\in I}A_i, then there exists i_0\in I such that x\in A_{i_0}. In contrast, if x\in\bigcap_{i\in I}A_i, then x\in A_i for every i\in I.
4直感的な説明
集合族は、引き出しに番号を付けて、各引き出しに集合を入れている状況として見られる。和集合は、どれか 1 つの引き出しに入っていれば採用する。共通部分は、すべての引き出しに入っているものだけを採用する。
この見方では、和集合は条件を緩める操作であり、共通部分は条件を厳しくする操作である。
添字集合が空の場合は特に注意する。空の和集合は集める元がないので空集合になり、空の共通部分は文脈の全体集合を使う約束で扱う。
4Intuitive explanation
A family of sets can be imagined as numbered drawers, each containing a set. The union accepts an element if it appears in at least one drawer. The intersection accepts an element only if it appears in every drawer.
In this view, union weakens the condition, while intersection strengthens it.
5厳密な説明：空の添字集合
I=\varnothing の場合は境界例である。和集合 \bigcup_{i\in\varnothing}A_i は、入るための「ある i\in\varnothing」が存在しないため、空集合になる。
共通部分 \bigcap_{i\in\varnothing}A_i は、議論している全体集合 U を固定しているなら U と約束することが多い。これは「すべての i\in\varnothing について x\in A_i」という条件が、反例を持たないためである。
5Precise point: the empty index set
The case I=\varnothing is a boundary case. The union \bigcup_{i\in\varnothing}A_i is the empty set, because there is no index i\in\varnothing that can witness membership.
For the intersection \bigcap_{i\in\varnothing}A_i, if a universal set U is fixed, it is often taken to be U. The condition “for every i\in\varnothing, x\in A_i” has no counterexample.
6.2解説
m\in\bigcap_{n=1}^{3}A_n とは、m\in A_1、m\in A_2、m\in A_3 の全部が成り立つという意味である。つまり m は 1、2、3 のすべてで割り切れる整数である。
したがって \bigcap_{n=1}^{3}A_n は 6 の倍数全体である。この例では、共通部分が複数の条件を同時に満たす元を抽出する操作であることを確認している。
6.2Explanation
The statement m\in\bigcap_{n=1}^{3}A_n means that all of m\in A_1, m\in A_2, and m\in A_3 hold. In other words, m is an integer divisible by all of 1,2,3.
Therefore \bigcap_{n=1}^{3}A_n is the set of all multiples of 6. This example shows that intersection extracts elements satisfying several conditions at the same time.