多重線形写像たじゅうせんけいしゃぞうと交代写像こうたいしゃぞう

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、面積めんせきや体積たいせきを測はかる量りょうには、各変数かくへんすうに線形せんけいであり、同おなじ方向ほうこうが重複ちょうふくすると 0 になる性質せいしつが必要ひつようであることを確認かくにんすることである。

用語ようごと定義ていぎ

多重線形写像たじゅうせんけいしゃぞうMultilinear map は、複数ふくすうの入力にゅうりょくを持もち、どの入力にゅうりょくについても他ほかを固定こていすれば線形せんけいになる写像しゃぞうである。

交代写像こうたいしゃぞうAlternating map は、二ふたつの入力にゅうりょくを入いれ替かえると符号ふごうが反転はんてんし、同おなじ入力にゅうりょくが重複ちょうふくすると 0 になる写像しゃぞうである。

方針ほうしん

面積めんせきは、一方いっぽうの辺へんを二倍にばいにすれば二倍にばいになる。また二本にほんの方向ほうこうが平行へいこうなら面積めんせきは 0 になる。この直感ちょっかんを代数条件だいすうじょうけんとして抽出ちゅうしゅつしたものが交代多重線形性こうたいたじゅうせんけいせいである。

具体例ぐたいれい

$$R^2$$\mathbb{R}^2 で

と定義ていぎする。これは二ふたつのベクトルが張はる平行四辺形へいこうしへんけいの符号付ふごうつき面積めんせきであり、交代双線形こうたいそうせんけいである。

交換こうかんを確認かくにんすると、

である。また $$A(u,u)=0$$A(u,u)=0 である。同おなじ方向ほうこうの二本にほんのベクトルは平行四辺形へいこうしへんけいを張はらないため、面積めんせきが 0 になる。この幾何きかが交代性こうたいせいの背景はいけいである。

段階的だんかいてきな区別くべつ

双線形そうせんけいとは、二ふたつの入力にゅうりょくの各々おのおのについて線形せんけいであることを意味いみする。多重線形たじゅうせんけいとは、入力にゅうりょくが三みっつ以上いじょうの場合ばあいにも同おなじ性質せいしつを要求ようきゅうすることである。交代性こうたいせいは、入力にゅうりょくの入いれ替かえで符号ふごうが変化へんかする追加条件ついかじょうけんである。

体積たいせきの例れい

$$R^3$$\mathbb{R}^3 で

と定義ていぎする。これは三みっつのベクトルが張はる平行六面体へいこうろくめんたいの符号付ふごうつき体積たいせきであり、交代三重線形こうたいさんじゅうせんけいである。二ふたつの入力にゅうりょくを入いれ替かえると行列式ぎょうれつしきの符号ふごうが反転はんてんする。

標準基底ひょうじゅんきてい $$e_1,e_2,e_3$$e_1,e_2,e_3 に対たいして $$V(e_1,e_2,e_3)=1$$V(e_1,e_2,e_3)=1 である。$$e_2,e_1,e_3$$e_2,e_1,e_3 の順じゅんに入いれ替かえると $$-1$$-1 になる。$$e_1,e_1,e_3$$e_1,e_1,e_3 のように同おなじ方向ほうこうが重複ちょうふくすると 0 である。この三みっつの値あたいが、向むき・符号ふごう・退化たいかを同時どうじに表あらわす。

反例はんれい: 内積ないせきは交代こうたいではない

$$B(u,v)=u·v$$B(u,v)=u\cdot v は双線形そうせんけいであるが、交代こうたいではない。$$B(v,u)=B(u,v)$$B(v,u)=B(u,v) であり、入力にゅうりょくを交換こうかんしても符号ふごうは反転はんてんしない。また $$B(u,u)=|u{|}^2$$B(u,u)=|u|^2 は一般いっぱんに 0 ではない。したがって長ながさや角度かくどを測はかる内積ないせきと、向むき付づき面積めんせきを測はかる交代形式こうたいけいしきは別概念べつがいねんである。

determinant との関係かんけい

行列式ぎょうれつしきは、列れつベクトルに対たいする交代多重線形形式こうたいたじゅうせんけいけいしきであり、標準基底ひょうじゅんきていに対たいして値あたい 1 を取とるように正規化せいきかされている。この特徴付とくちょうづけにより、置換和ちかんわの公式こうしきだけでなく、面積めんせき・体積たいせきの符号付ふごうつき拡大率かくだいりつとして理解りかいできる。

wedge 積せきへの必然性ひつぜんせい

面積めんせきや体積たいせきを座標ざひょうに依存いぞんしにくく扱あつかうには、交代多重線形こうたいたじゅうせんけいな対象たいしょうを体系的たいけいてきに生成せいせいする演算えんざんが必要ひつようである。その演算えんざんが wedge 積せきである。

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