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図形の領域の基本md 951186b
lecture/math/geometry/図形の領域の基本-講義.n.md
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図形の領域の基本
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導入
この講義で最重要なのは、不等式を式の処理としてだけでなく、「平面のどちら側か」を表す条件として見ることです。
領域の問題で混乱しやすいのは、不等式が 2 本 以上出ると、それぞれを別々に処理して全体像を見失うことです。この講義では、1 本ずつ図へ落として共通部分を取る手順を固定します。
用語と定義
領域 とは、ある条件を満たす点の集合です。
半平面 とは、1 本の直線で平面を分けたときのどちらか片側です。
方針
まず等号つきの境界線を描きます。そのあと、代表点を 1 つ代入して、どちら側が条件を満たすかを判定します。これを各条件で行い、最後に共通部分を取ります。
直感的な説明
たとえば x+y\le 2 は、直線 x+y=2 の片側を表しています。だから、領域の問題は「境界線を描いて、どちら側かを選ぶ問題」だと見ると整理しやすくなります。
厳密な説明
1. 直線による領域
ax+by+c\ge 0
の境界は
ax+by+c=0
です。この直線を描いたあと、たとえば原点 (0,0) を代入して条件を満たすかどうかを調べれば、どちら側を塗るかが決まります。
2. 円による領域
(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2
は、中心 (a,b) 、半径 r の円の内部と周りを表します。< なら内部だけ、= なら円周だけです。
3. 共通部分
条件が 2 本あるときは、その 2 つを同時に満たす部分だけが答えです。したがって、最後は塗った領域の重なりを見ます。
見分け方
- 不等式が座標平面で与えられたら、まず境界を等号で描きます。
- どちら側か迷ったら、原点など簡単な点を代入します。
- 条件が複数あるなら、最後に共通部分を見ることを忘れません。
最終形
\boxed{\text{領域 = 各不等式の表す部分の共通部分}}
一言でいうと
- 領域の問題では、不等式を 1 本ずつ図に直して、その重なりを見るのが基本です。