多変数関数たへんすうかんすうと偏微分へんびぶん

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、偏微分へんびぶんを「ほかの変数へんすうを固定こていする計算けいさん」だけでなく、指定していした座標方向ざひょうほうこうの変化率へんかりつとして理解りかいすることである。

用語ようごと定義ていぎ

多変数関数たへんすうかんすうMultivariable function は、$$f(x_1,\dots ,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n) のように複数ふくすうの入力にゅうりょくを持もつ関数かんすうである。

偏微分へんびぶんPartial derivative は、ある変数へんすうだけを変化へんかさせ、ほかの変数へんすうを固定こていして測はかる変化率へんかりつである。

方針ほうしん

多変数関数たへんすうかんすうでは、一点いってんの近傍きんぼうでどの方向ほうこうへ動うごくかを指定していしないと変化率へんかりつが一意いちいに決きまらない。偏微分へんびぶんは、そのうち座標軸方向ざひょうじくほうこうの変化率へんかりつを抽出ちゅうしゅつする基本操作きほんそうさである。

具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^{2}y+\sin y$$f(x,y)=x^2y+\sin y とする。このとき

である。$$f_x$$f_x は $$y$$y を固定こていして $$x$$x 方向ほうこうだけの変化へんかを測定そくていし、$$f_y$$f_y は $$x$$x を固定こていして $$y$$y 方向ほうこうだけの変化へんかを測定そくていする。

よくある誤あやまり

• 偏微分へんびぶんを全方向ぜんほうこうの変化へんかを代表だいひょうする量りょうと解釈かいしゃくする。
• 偏微分へんびぶんできることから連続性れんぞくせいや全微分可能性ぜんびぶんかのうせいを即断そくだんする。
• 変数へんすうの固定こていを機械的きかいてきに実行じっこうし、どの方向ほうこうを調査ちょうさしているかを確認かくにんしない。

どこまで成なり立たつか

偏微分へんびぶんの存在そんざいだけでは、関数かんすうが滑なめらかであるとは限かぎらない。局所的きょくしょてきに線形近似せんけいきんじできるかを確認かくにんするには、全微分ぜんびぶんや Jacobian が必要ひつようになる。

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