接平面せつへいめん・連鎖律れんさりつ・Jacobian

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、多変数関数たへんすうかんすうの微分びぶんを、一点いってんの近傍きんぼうで最良さいりょうの線形近似せんけいきんじを与あたえる操作そうさとして確認かくにんすることである。

用語ようごと定義ていぎ

接平面せつへいめんTangent plane は、曲面きょくめんを一点いってんの近傍きんぼうで一次式いちじしきにより近似きんじする平面へいめんである。

JacobianJacobian は、多変数写像たへんすうしゃぞうの偏微分へんびぶんを行列ぎょうれつに配置はいちした対象たいしょうである。

方針ほうしん

$$z=f(x,y)$$z=f(x,y) では、接平面せつへいめんが局所的きょくしょてきな一次近似いちじきんじを与あたえる。$$F:R^n\to R^m$$F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m では、Jacobian が同おなじ役割やくわりを果はたす。連鎖律れんさりつは、一次近似いちじきんじの合成ごうせいが行列積ぎょうれつせきで表現ひょうげんされることを述のべる。

厳密げんみつな説明せつめい

$$f$$f が $$(a,b)$$(a,b) で全微分可能ぜんびぶんかのうなら、

である。$$F=(F_1,\dots ,F_m)$$F=(F_1,\ldots,F_m) の Jacobian は

であり、近似式きんじしき $$F(a+h)\approx F\left(a\right)+J_F\left(a\right)h$$F(a+h)\approx F(a)+J_F(a)h を与あたえる。

具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 の $$(1,2)$$(1,2) における接平面せつへいめんは

である。この式しきは曲面きょくめんそのものではなく、近傍きんぼうでの一次近似いちじきんじである。

どこまで成なり立たつか

Jacobian は局所的きょくしょてきな情報じょうほうである。広ひろい領域りょういきで一対一いちたいいちか、逆写像ぎゃくしゃぞうが存在そんざいするかは、追加条件ついかじょうけんを必要ひつようとする。

関連かんれんリンク