多重積分たじゅうせきぶんと変数変換へんすうへんかん

date2026-04-23description二重積分・三重積分・変数変換を、領域上の細片を足し合わせる操作として整理する。prerequisites多変数関数と偏微分 / 接平面・連鎖律・Jacobiantype講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、多重積分たじゅうせきぶんを面積めんせきや体積たいせきの公式こうしきではなく、領域りょういきを小部分しょうぶぶんへ分割ぶんかつして量りょうを総和そうわする操作そうさとして確認かくにんすることである。

二重積分にじゅうせきぶんDouble integral は、平面領域へいめんりょういき $D$ 上じょうの量りょうを $\iint_{D} f (x, y) d A$ として足たし合あわせる操作そうさである。

変数変換へんすうへんかんChange of variables は、領域りょういきを別座標べつざひょうで記述きじゅつし、Jacobian 行列式ぎょうれつしきで面積要素めんせきようそや体積要素たいせきようそを補正ほせいする方法ほうほうである。

直交座標ちょっこうざひょうで領域りょういきが複雑ふくざつなら、極座標きょくざひょう・円柱座標えんちゅうざひょう・球座標きゅうざひょうを検討けんとうする。重要じゅうようなのは、座標ざひょうの変更へんこうにより積分領域せきぶんりょういきが単純化たんじゅんかされるかである。

極座標きょくざひょうでは

x = r \cos θ, y = r \sin θ

であり、面積要素めんせきようそは $d A = r d r d θ$ となる。これは小長方形しょうちょうほうけいが写像しゃぞうにより面積倍率めんせきばいりつ $r$ を受うけることを意味いみする。

半径はんけい 1 の円板えんばん $D$ で $f (x, y) = 1$ とすると、

\iint_{D} 1 d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r d r d θ = π

である。Jacobian の補正ほせい $r$ を省略しょうりゃくすると面積めんせきを誤あやまる。