曲線きょくせん・曲面きょくめんのパラメータ表示ひょうじ

date2026-04-23description曲線と曲面のパラメータ表示を、線積分・面積分・ベクトル解析へ進むための前提として整理する。prerequisites多変数関数と偏微分 / 多重積分と変数変換type講義statusactive

mathmultivariable-calculusparameterizationlecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、曲線きょくせんや曲面きょくめんを方程式ほうていしきだけでなく、動うごく点てんの軌跡きせきとして表示ひょうじすることである。

パラメータ表示ひょうじParameterization は、曲線きょくせんを $r (t)$ 、曲面きょくめんを $r (u, v)$ のように媒介変数ばいかいへんすうで表現ひょうげんする方法ほうほうである。

接せつベクトルTangent vector は、曲線きょくせんの進行方向しんこうほうこうを表あらわす微分びぶん $r^{'} (t)$ である。

線積分せんせきぶんでは曲線きょくせんに沿そった移動いどうを追跡ついせきするため、 $r (t)$ と $r^{'} (t)$ が必要ひつようである。面積分めんせきぶんでは曲面きょくめんの接方向せつほうこう $r_{u}, r_{v}$ と法線方向ほうせんほうこうが必要ひつようである。

半径はんけい 1 の円えんは

r (t) = (\cos t, \sin t), 0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π

と表示ひょうじできる。このとき $r^{'} (t) = (- \sin t, \cos t)$ であり、接線方向せっせんほうこうを与あたえる。

曲面きょくめん $r (u, v)$ では、 $r_{u}$ と $r_{v}$ が接平面せつへいめんを張はる。面積要素めんせきようそは $| r_{u} \times r_{v} | d u d v$ で与あたえられる。

パラメータ表示ひょうじは一意いちいではない。同おなじ図形ずけいであっても向むきや速度そくどの設定せっていにより積分せきぶんの符号ふごうや計算量けいさんりょうが変化へんかする。