極値きょくちと Hessian

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、多変数関数たへんすうかんすうの極値きょくちを、一次微分いちじびぶんが消きえる条件じょうけんと二次近似にじきんじの符号ふごうで判定はんていすることである。

用語ようごと定義ていぎ

停留点ていりゅうてんCritical point は、$$\nabla f=0$$\nabla f=0 となる点てんである。

HessianHessian は、二階偏導関数にかいへんどうかんすうを並ならべた行列ぎょうれつである。

方針ほうしん

極値きょくちの候補こうほは停留点ていりゅうてんから探さがす。ただし、停留点ていりゅうてんであることは十分条件じゅうぶんじょうけんではない。Hessian が正定値せいていちなら狭義局所最小きょうぎきょくしょさいしょう、負定値ふていちなら狭義局所最大きょうぎきょくしょさいだいを与あたえる。

具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 では、停留点ていりゅうてんは $$(0,0)$$(0,0) であり、Hessian は $$2I$$2I である。これは正定値せいていちなので、$$(0,0)$$(0,0) は狭義局所最小きょうぎきょくしょさいしょうである。

注意ちゅうい

Hessian が正定値せいていちであるだけでは極小きょくしょうを結論けつろんできない。対象点たいしょうてんが停留点ていりゅうてんであることを先さきに確認かくにんする必要ひつようがある。

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