方向微分ほうこうびぶんと Gradient

date2026-04-23description方向微分と Gradient を、多変数関数が指定方向へどれだけ変化するかを測る道具として整理する。prerequisites多変数関数と偏微分 / 接平面・連鎖律・Jacobiantype講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、偏微分へんびぶんを座標軸方向ざひょうじくほうこうの変化率へんかりつとして位置いちづけ、その一般化いっぱんかとして任意方向にんいほうこうの方向微分ほうこうびぶんを導入どうにゅうすることである。

方向微分ほうこうびぶんDirectional derivative は、単位たんいベクトル $u$ の方向ほうこうへ動うごいたときの変化率へんかりつである。

GradientGradient は、方向微分ほうこうびぶんを内積ないせきで表現ひょうげんするベクトルであり、 $\nabla f$ と書かく。

$f$ が十分じゅうぶんに滑なめらかなら、

D_{u} f = \nabla f \cdot u

である。Cauchy-Schwarz 不等式ふとうしきにより、方向微分ほうこうびぶんが最大さいだいになる方向ほうこうは $\nabla f$ の方向ほうこうである。

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ では $\nabla f = (2 x, 2 y)$ である。 $(1, 2)$ では $\nabla f = (2, 4)$ となり、この方向ほうこうが最急増加方向さいきゅうぞうかほうこうである。