勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてん

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、grad・div・curl を記号操作きごうそうさではなく、場ばの局所的きょくしょてきな変化へんかを測定そくていする三種類さんしゅるいの演算子えんざんしとして確認かくにんすることである。

用語ようごと定義ていぎ

勾配こうばいGradient は、スカラー場ばが最もっとも急きゅうに増加ぞうかする方向ほうこうと大おおきさを表あらわすベクトル場ばである。

発散はっさんDivergence は、ベクトル場ばが一点いってんの近傍きんぼうでどれだけ湧わき出だすかを測はかるスカラー量りょうである。

回転かいてんCurl は、ベクトル場ばが一点いってんの近傍きんぼうでどれだけ循環じゅんかんするかを測はかるベクトル量りょうである。

方針ほうしん

勾配こうばいは方向微分ほうこうびぶんを最大化さいだいかする方向ほうこうである。発散はっさんは小領域しょうりょういきからの正味流出しょうみりゅうしゅつを密度みつどとして捉とらえる。回転かいてんは微小閉曲線びしょうへいきょくせんに沿そう循環じゅんかんを密度みつどとして捉とらえる。

具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 なら

である。勾配こうばいは原点げんてんから外向そとむきに伸のび、値あたいが増加ぞうかする方向ほうこうを示しめす。

$$\mathit{F}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x) では、平面上へいめんじょうの回転かいてんの強つよさが正せいになる。循環じゅんかんを持もつ場ばの基本例きほんれいである。

成分公式せいぶんこうしきの意味いみ

$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z)$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z) は、各座標方向かくざひょうほうこうの増加率ぞうかりつを一ひとつのベクトルに集約しゅうやくしたものである。$$\nabla ·\mathit{F}$$\nabla\cdot\boldsymbol{F} は、各方向かくほうこうの流出入りゅうしゅつにゅうの差さを足たし合あわせたものである。$$\nabla \times \mathit{F}$$\nabla\times\boldsymbol{F} は、座標平面ざひょうへいめんごとの局所循環きょくしょじゅんかんを組くみ合あわせたものである。

発散はっさんの式しきは、小箱しょうばこからの流出量りゅうしゅつりょうを体積たいせきで割わる極限きょくげんとして理解りかいできる。$$x$$x 方向ほうこうの右面うめんと左面さめんの差さは近似的きんじてきに $$\mathit{\partial }{F}_1/\mathit{\partial }x$$\partial F_1/\partial x を生うみ、$$y,z$$y,z 方向ほうこうも同様どうようである。回転かいてんは、微小長方形びしょうちょうほうけいの周まわりの循環じゅんかんを面積めんせきで割わる極限きょくげんとして得えられる。

比較例ひかくれい

• 放射状場ほうしゃじょうば $$\mathit{F}(x,y)=(x,y)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y) は原点げんてんから外向そとむきに広ひろがるため、発散はっさんが正せいである。
• 回転場かいてんば $$\mathit{F}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x) は湧わき出だしより循環じゅんかんを持もつ。
• $$\mathit{F}(x,y,z)=(-y,x,0)$$\boldsymbol{F}(x,y,z)=(-y,x,0) は divergence が 0 であるが curl は 0 ではない。
• 穴あなのある領域りょういきで $$\mathit{F}=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2\left)\right)$$\boldsymbol{F}=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) を考かんがえると、curl は局所的きょくしょてきに 0 であるが、原点げんてんを囲かこむ閉曲線へいきょくせんの線積分せんせきぶんは 0 にならない。

具体計算ぐたいけいさん 1: 放射状場ほうしゃじょうば

$$\mathit{F}(x,y)=(x,y)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y) では

である。原点げんてんから外向そとむきに流出りゅうしゅつするが、局所的きょくしょてきな回転かいてんはない。

具体計算ぐたいけいさん 2: 回転場かいてんば

$$\mathit{G}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{G}(x,y)=(-y,x) では

である。湧わき出だしはないが、反時計回はんとけいまわりの循環じゅんかんを持もつ。同おなじ矢印図やじるしずでも、外向そとむきの広ひろがりと回転かいてんは別べつの量りょうで測定そくていする。

単位たんいの確認かくにん

速度場そくどば $$\mathit{v}$$\boldsymbol{v} の単位たんいを $$\mathrm{m}/\mathrm{s}$$\mathrm{m/s} とすると、divergence の単位たんいは $$1/\mathrm{s}$$1/\mathrm{s} である。単位体積たんいたいせきあたりの相対的そうたいてきな膨張率ぼうちょうりつとして解釈かいしゃくできる。curl も $$1/\mathrm{s}$$1/\mathrm{s} の単位たんいを持もち、局所的きょくしょてきな角速度かくそくどの尺度しゃくどになる。

積分せきぶんへの接続せつぞく

curl は線積分せんせきぶんの循環じゅんかんと結むすびつき、divergence は面積分めんせきぶんの流束りゅうそくと結むすびつく。この接続せつぞくを定理ていりとして述のべるのが Green・Gauss・Stokes の定理ていりである。

どこまで成なり立たつか

これらの式しきは十分じゅうぶんに滑なめらかな場ばで安定あんていして使用しようできる。不連続ふれんぞくや特異点とくいてんを含ふくむ場合ばあいは、領域りょういきから除外じょがいするか、分布ぶんぷの意味いみで扱あつかう必要ひつようがある。

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