heat・wave・Laplace 方程式ほうていしき

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、PDE の代表例だいひょうれいを別々べつべつの公式こうしきとしてではなく、拡散かくさん・伝播でんぱ・平衡へいこうの三類型さんるいけいとして比較ひかくすることである。

代表式だいひょうしき

熱方程式ねつほうていしきは

である。波動方程式はどうほうていしきは

である。Laplace 方程式ほうていしきは

である。

方針ほうしん

熱方程式ねつほうていしきでは初期分布しょきぶんぷが平滑化へいかつかされる。波動方程式はどうほうていしきでは初期変位しょきへんいと初期速度しょきそくどが伝播でんぱする。Laplace 方程式ほうていしきでは境界値きょうかいちが内部ないぶの平衡分布へいこうぶんぷを決定けっていする。

heat: 平滑化へいかつかと maximum principle

熱方程式ねつほうていしきでは、高周波こうしゅうはの揺ゆれが時間じかんとともに減衰げんすいする。たとえば $$0<x<L$$0<x<L、$$u(0,t)=u(L,t)=0$$u(0,t)=u(L,t)=0 の条件じょうけんでは、正弦せいげんモード $$\sin (n\pi x/L)$$\sin(n\pi x/L) が $$e^{-\kappa (n\pi /L{)}^{2}t}$$e^{-\kappa(n\pi/L)^2t} で減衰げんすいする。大おおきい $$n$$n ほど速はやく消きえるため、解かいは滑なめらかになる。

この減衰公式げんすいこうしきは代入だいにゅうで導出どうしゅつできる。$$u(x,t)=T\left(t\right)\sin (n\pi x/L)$$u(x,t)=T(t)\sin(n\pi x/L) と置おくと、

であり、

である。これを $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} へ代入だいにゅうすると

となる。この一階線形いっかいせんけい ODE の解かいは

である。したがって正弦せいげんモードの減衰げんすいが導出どうしゅつされる。

標準例ひょうじゅんれいとして、初期温度しょきおんどを $$u(x,0)=\sin (\pi x/L)$$u(x,0)=\sin(\pi x/L) とする。このとき解かいは

である。形かたちは保たもたれるが、振幅しんぷくだけが指数関数的しすうかんすうてきに減衰げんすいする。比較例ひかくれいとして $$\sin (5\pi x/L)$$\sin(5\pi x/L) を初期分布しょきぶんぷに含ふくめると、減衰率げんすいりつは 25 倍ばいになる。これが平滑化へいかつかの具体的ぐたいてきな意味いみである。

wave: 伝播でんぱと energy

波動方程式はどうほうていしきでは、初期変位しょきへんいと初期速度しょきそくどが有限速度ゆうげんそくどで伝播でんぱする。固定端こていたん条件じょうけんでは正弦せいげんモードが振動しんどうし、熱方程式ねつほうていしきのように単調たんちょうに消滅しょうめつしない。運動うんどうと歪ひずみのエネルギーの和わが保存ほぞんされることが基本性質きほんせいしつである。

全空間ぜんくうかんの一階元いっかいげんでは、d'Alembert 公式こうしき

が典型てんけいである。ここで $$f$$f は初期変位しょきへんい、$$g$$g は初期速度しょきそくどである。点てん $$(x,t)$$(x,t) の解かいは、区間くかん $$[x-ct,x+ct]$$[x-ct,x+ct] の初期情報しょきじょうほうだけに依存いぞんする。これが有限伝播速度ゆうげんでんぱそくどの式しきによる表現ひょうげんである。

この公式こうしきも因数分解いんすうぶんかいから導出どうしゅつできる。波動演算子はどうえんざんしは

と分解ぶんかいされる。新変数しんへんすう

を導入どうにゅうすると、一般解いっぱんかいは

の形かたちになる。初期条件しょきじょうけん $$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x)、$$u_t(x,0)=g\left(x\right)$$u_t(x,0)=g(x) を代入だいにゅうすると

および

を得える。第二式だいにしきを積分せきぶんして $$F,G$$F,G を消去しょうきょすると、d'Alembert 公式こうしき

が得えられる。

Laplace: 平衡へいこうと調和関数ちょうわかんすう

Laplace 方程式ほうていしき $$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 の解かいは調和関数ちょうわかんすうである。内部ないぶに源みなもとがないため、境界きょうかいで指定していした値あたいが内部ないぶの平衡状態へいこうじょうたいを決定けっていする。maximum principle により、最大値さいだいちと最小値さいしょうちは原則げんそくとして境界きょうかいで達成たっせいされる。

二次元にじげんの例れいとして $$u(x,y)=x^2-y^2$$u(x,y)=x^2-y^2 を確認かくにんする。$$u_{xx}=2$$u_{xx}=2、$$u_{yy}=-2$$u_{yy}=-2 なので $$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 である。値あたいは内部ないぶで自由じゆうに最大さいだいを取とるのではなく、境界きょうかいの情報じょうほうと調和性ちょうわせいに制約せいやくされる。反対はんたいに $$x^2+y^2$$x^2+y^2 は $$\mathrm{\Delta }u=4$$\Delta u=4 であり、内部ないぶに一様いちような源みなもとを持もつ Poisson 方程式ほうていしきの例れいになる。

比較表ひかくひょう

条件じょうけんによる違ちがい

同おなじ熱方程式ねつほうていしきであっても、Dirichlet 条件じょうけんでは端点たんてんの温度おんどを固定こていし、Neumann 条件じょうけんでは端点たんてんを通過つうかする熱流ねつりゅうを指定していする。結果けっかとして長時間後ちょうじかんごの平衡へいこうが変化へんかする。このページでは解法かいほうを完結かんけつさせず、三さん方程式ほうていしきの性質せいしつの差さを確認かくにんする。

単位たんいの確認かくにん

熱方程式ねつほうていしきで $$u$$u を温度おんど、$$t$$t を秒びょう、$$x$$x を長ながさとすると、$$\kappa$$\kappa は長ながさの 2 乗じょうを時間じかんで割わった次元じげんを持もつ。したがって $$u_t$$u_t と $$\kappa u_{xx}$$\kappa u_{xx} は同おなじ次元じげんになる。

どこまで成なり立たつか

これらは線形せんけいで理想化りそうかされた代表だいひょうモデルである。非線形拡散ひせんけいかくさん、減衰げんすい、外力がいりょく、不均一媒質ふきんいつばいしつを含ふくむ場合ばあいは、方程式ほうていしきの形かたちが変化へんかする。

関連かんれんリンク