変数分離法へんすうぶんりほうと Fourier 級数きゅうすう

date2026-04-23description変数分離法と Fourier 級数を、境界条件に合う空間モードへ PDE を分解する方法として整理する。prerequisitesheat・wave・Laplace方程式 / フーリエ変換の入口type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、変数分離法へんすうぶんりほうを形式的けいしきてきな仮定かていではなく、境界条件きょうかいじょうけんに合あう空間くうかんモードへ PDE を分解ぶんかいする方法ほうほうとして確認かくにんすることである。

用語ようごと定義ていぎ

変数分離法へんすうぶんりほうSeparation of variables は、 $u (x, t) = X (x) T (t)$ のように未知関数みちかんすうを一変数関数いちへんすうかんすうの積せきとして仮定かていし、PDE を ODE 群ぐんへ分解ぶんかいする方法ほうほうである。

Fourier 級数きゅうすうFourier series は、関数かんすうを三角関数さんかくかんすうの級数きゅうすうとして展開てんかいする表現ひょうげんである。

方針ほうしん

境界条件きょうかいじょうけんから空間方向くうかんほうこうの固有値問題こゆうちもんだいが現あらわれる。その固有関数こゆうかんすうを基底きていとして初期条件しょきじょうけんを展開てんかいし、時間方向じかんほうこうの ODE を解とく。

分離定数ぶんりていすうが現あらわれる理由りゆう

$u (x, t) = X (x) T (t)$ を代入だいにゅうして両辺りょうへんを $X T$ で割わると、一方いっぽうは $x$ だけの関数かんすう、他方たほうは $t$ だけの関数かんすうになる。この二ふたつが全すべての $x, t$ で等ひとしいためには、同一どういつの定数ていすうでなければならない。この定数ていすうが分離定数ぶんりていすうである。

典型例てんけいれい

区間くかん $0 < x < L$ の熱方程式ねつほうていしきで $u (0, t) = u (L, t) = 0$ とすると、空間くうかんモードは $\sin (n π x / L)$ になる。初期分布しょきぶんぷを sine 級数きゅうすうで展開てんかいし、それぞれのモードが時間じかんとともに減衰げんすいする。

波動方程式はどうほうていしきで同おなじ境界条件きょうかいじょうけんを課かすと、空間くうかんモードは同おなじく $\sin (n π x / L)$ になる。ただし時間方向じかんほうこうは指数減衰しすうげんすいではなく、 $\cos (c n π t / L)$ と $\sin (c n π t / L)$ の振動しんどうになる。熱ねつと波なみの差さは、同おなじ空間固有値くうかんこゆうちに対たいする時間方程式じかんほうていしきの差さとして現あらわれる。

具体例ぐたいれい 1: 熱方程式ねつほうていしき

問題もんだいを

u_{t} = κ u_{x x}, 0 < x < L, u (0, t) = u (L, t) = 0, u (x, 0) = f (x)

とする。 $u = X T$ を代入だいにゅうすると、

\frac{T^{'}}{κ T} = \frac{X^{'}'}{X} = - λ

である。境界条件きょうかいじょうけんから $X (0) = X (L) = 0$ なので、非零解ひれいかいは

X_{n} (x) = \sin (n π x / L), λ_{n} = (n π / L)^{2}

である。時間方向じかんほうこうは $T_{n} (t) = e^{- κ λ_{n} t}$ となる。初期条件しょきじょうけんは

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin (n π x / L), b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) \sin (n π x / L) d x

により決定けっていする。したがって

u (x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} e^{- κ (n π / L)^{2} t} \sin (n π x / L)

である。

具体例ぐたいれい 2: 波動方程式はどうほうていしき

同おなじ区間くかんと固定端こていたんで

u_{t t} = c^{2} u_{x x}, u (x, 0) = f (x), u_{t} (x, 0) = g (x)

を扱あつかう。空間くうかんモードは熱方程式ねつほうていしきと同一どういつだが、時間方程式じかんほうていしきは

T_{n^{'}}' + c^{2} (n π / L)^{2} T_{n} = 0

となる。したがって

u (x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (c n π t / L) + d_{n} \sin (c n π t / L)) \sin (n π x / L)

である。 $a_{n}$ は $f$ の sine 係数けいすう、 $d_{n}$ は $g$ の sine 係数けいすうを $c n π / L$ で割わった量りょうである。

固有値問題こゆうちもんだいと直交性ちょっこうせい

境界条件きょうかいじょうけんが空間演算子くうかんえんざんしの固有値問題こゆうちもんだいを作つくる。固定端こていたんでは $- \frac{d^{2}}{d x^{2}}$ の固有関数こゆうかんすうが sine 関数かんすうになり、それらが直交ちょっこうするため初期条件しょきじょうけんを係数けいすうへ分解ぶんかいできる。変数分離へんすうぶんりは偶然ぐうぜんの技巧ぎこうではなく、境界条件きょうかいじょうけんに適合てきごうする基底きていを探さがす手続てつづきである。

限界げんかい

領域りょういきや係数けいすうが複雑ふくざつで、積せきの形かたち $X (x) T (t)$ に分解ぶんかいできない場合ばあいがある。非線形ひせんけい PDE でも重かさね合あわせが成立せいりつしないため、Fourier 級数きゅうすうによる単純たんじゅんな展開てんかいは使用しようしにくい。

よくある誤あやまり

境界条件きょうかいじょうけんを確認かくにんせず、任意にんいの Fourier 展開てんかいを使用しようする。
固有値問題こゆうちもんだいと Fourier 級数きゅうすうの関係かんけいを切断せつだんする。
級数解きゅうすうかいの収束しゅうそくや境界きょうかいでの挙動きょどうを確認かくにんしない。