transport 方程式ほうていしきと保存則ほぞんそく

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、transport 方程式ほうていしきを量りょうが流ながれに沿そって移動いどうする式しきとして確認かくにんし、保存則ほぞんそくへの入口いりぐちを作つくることである。

基本形きほんけい

は一定速度いっていそくど $$c$$c で形状けいじょうが移動いどうする transport 方程式ほうていしきである。特性曲線とくせいきょくせん $$x-ct=\text{constant}$$x-ct=\text{constant} に沿そって $$u$$u は保存ほぞんされる。

初期条件しょきじょうけんを $$u(x,0)=g\left(x\right)$$u(x,0)=g(x) とすると、解かいは

である。正せいの $$c$$c なら波形はけいは右みぎへ速度そくど $$c$$c で移動いどうする。熱方程式ねつほうていしきのように形かたちが滑なめらかに崩くずれるのではなく、初期形状しょきけいじょうが平行移動へいこういどうすることが特徴とくちょうである。

保存則ほぞんそく

保存則ほぞんそくConservation law は、

の形かたちを持もつ PDE である。これは量りょうの時間変化じかんへんかが流束りゅうそくの空間変化くうかんへんかで決定けっていされることを表あらわす。

積分形せきぶんけいから PDE へ

区間くかん $$[a,b]$$[a,b] に含ふくまれる量りょうを $${\int }_a^{b}u(x,t)dx$$\int_a^b u(x,t)\,dx とする。保存ほぞんされる量りょうの変化へんかは、端点たんてんから出入でいりする流束りゅうそくで決定けっていされるため、

となる。これを局所化きょくしょかすると $$u_t+f(u{)}_x=0$$u_t+f(u)_x=0 を得える。

有限伝播速度ゆうげんでんぱそくど

transport 方程式ほうていしきでは、初期分布しょきぶんぷの情報じょうほうが特性曲線とくせいきょくせんに沿そって移動いどうする。この性質せいしつは熱方程式ねつほうていしきの拡散かくさんと対照的たいしょうてきである。不連続初期値ふれんぞくしょきちがある場合ばあいは、不連続ふれんぞくも特性とくせいに沿そって伝播でんぱする。

非線形保存則ひせんけいほぞんそくと特性とくせいの交差こうさ

$$u_t+f(u{)}_x=0$$u_t+f(u)_x=0 は $$u_t+f^{\prime }\left(u\right)u_x=0$$u_t+f'(u)u_x=0 と書かける。値あたい $$u$$u により特性速度とくせいそくど $$f^{\prime }\left(u\right)$$f'(u) が変化へんかするため、大おおきい値あたいと小ちいさい値あたいが異ことなる速度そくどで進すすむ。特性とくせいが交差こうさすると古典解こてんかいは破綻はたんし、衝撃波しょうげきはを含ふくむ弱解じゃくかいが必要ひつようになる。

不連続ふれんぞくが速度そくど $$s$$s で移動いどうし、左状態ひだりじょうたいを $$u_L$$u_L、右状態みぎじょうたいを $$u_R$$u_R とすると、Rankine--Hugoniot 条件じょうけんは

である。この条件じょうけんは保存量ほぞんりょうの収支しゅうしから導みちびかれる。ただし物理的ぶつりてきに許容きょようされる弱解じゃくかいを選えらぶには、entropy 条件じょうけんも必要ひつようである。

図式ずしきによる確認かくにん

定係数ていけいすう transport では、特性曲線とくせいきょくせんは $$x-ct=\text{constant}$$x-ct=\text{constant} の平行線へいこうせんである。非線形保存則ひせんけいほぞんそくでは、特性とくせいの傾かたむきが $$u$$u に依存いぞんする。扇状おうぎじょうに広ひろがれば rarefaction、交差こうさすれば shock が発生はっせいする。この図式ずしきは特性曲線法とくせいきょくせんほうと保存則ほぞんそくを接続せつぞくする。

どこまで成なり立たつか

非線形保存則ひせんけいほぞんそくでは、特性曲線とくせいきょくせんが交差こうさし、衝撃波しょうげきはが発生はっせいすることがある。その場合ばあいは弱解じゃくかいとエントロピー条件じょうけんが必要ひつようになる。

関連かんれんリンク