特性曲線法とくせいきょくせんほう

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、一階いっかい PDE を適切てきせつな曲線きょくせんに沿そって制限せいげんすると、ODE として処理しょりできる場合ばあいがあることである。

用語ようごと定義ていぎ

特性曲線とくせいきょくせんCharacteristic curve は、PDE の微分方向びぶんほうこうに沿そって進すすむ曲線きょくせんであり、その上うえで偏微分方程式へんびぶんほうていしきが ODE に還元かんげんされる。

方針ほうしん

たとえば

では、曲線きょくせん $$x-ct=\text{constant}$$x-ct=\text{constant} に沿そって $$u$$u が保存ほぞんされる。解法かいほうの目的もくてきは、偏微分へんびぶんを曲線方向きょくせんほうこうの全微分ぜんびぶんへ変換へんかんすることである。

曲線きょくせんに沿そう理由りゆう

一次いちじ PDE では、$$u_x$$u_x と $$u_t$$u_t が一次結合いちじけつごうとして現あらわれる。この形かたちは、平面へいめん $$x,t$$x,t 上じょうの曲線きょくせんに沿そう全微分ぜんびぶん

と同おなじ構造こうぞうを持もつ。したがって、PDE の係数けいすうと $$x^{\prime }\left(s\right),t^{\prime }\left(s\right)$$x'(s),t'(s) を対応たいおうさせれば、偏微分へんびぶんの問題もんだいを曲線上きょくせんじょうの ODE へ変換へんかんできる。

具体例ぐたいれい

$$u_t+2u_x=0,u(x,0)=g\left(x\right)$$u_t+2u_x=0,\quad u(x,0)=g(x) では、特性曲線とくせいきょくせんは $$x-2t=\xi$$x-2t=\xi である。したがって

となる。初期形状しょきけいじょうが速度そくど 2 で右方向みぎほうこうへ移動いどうする。

連鎖律れんさりつからの導出どうしゅつ

曲線きょくせん $$\left(x\right(s),t(s\left)\right)$$(x(s),t(s)) に沿そって $$u\left(x\right(s),t(s\left)\right)$$u(x(s),t(s)) を微分びぶんすると、

である。$$x^{\prime }\left(s\right)=c,t^{\prime }\left(s\right)=1$$x'(s)=c,\ t'(s)=1 と選択せんたくすれば、右辺うへんは $$c{u}_x+u_t$$cu_x+u_t になる。したがって $$u_t+c{u}_x=0$$u_t+cu_x=0 は、特性曲線とくせいきょくせんに沿そって $$u$$u が一定いっていであることを意味いみする。

変係数へんけいすうの例れい

$$u_t+x{u}_x=0$$u_t+xu_x=0 では、特性曲線とくせいきょくせんは $$x^{\prime }=x,t^{\prime }=1$$x'=x,\ t'=1 を満みたす。したがって $$x\left(t\right)=C{e}^t$$x(t)=Ce^t であり、$$x{e}^{-t}$$xe^{-t} が保存ほぞんされる。初期条件しょきじょうけん $$u(x,0)=g\left(x\right)$$u(x,0)=g(x) なら、$$u(x,t)=g\left(x{e}^{-t}\right)$$u(x,t)=g(xe^{-t}) となる。

非線形保存則ひせんけいほぞんそくへの接続せつぞく

$$u_t+f(u{)}_x=0$$u_t+f(u)_x=0 は $$u_t+f^{\prime }\left(u\right)u_x=0$$u_t+f'(u)u_x=0 と書かける。値あたい $$u$$u ごとに速度そくど $$f^{\prime }\left(u\right)$$f'(u) が異ことなるため、特性曲線とくせいきょくせんが交差こうさする可能性かのうせいがある。その場合ばあい、古典解こてんかいは破綻はたんし、弱解じゃくかいや entropy 条件じょうけんが必要ひつようになる。

特性とくせいファンの配置はいち

定係数ていけいすうの transport 方程式ほうていしきでは、特性曲線とくせいきょくせんは平行へいこうな直線群ちょくせんぐんである。変係数へんけいすうや非線形ひせんけいでは、初期線しょきせんから出でる曲線群きょくせんぐんが開ひらいたり交差こうさしたりする。この配置はいちが解かいの滑なめらかさと一意性いちいせいを左右さゆうする。

不適用ふてきようの例れい

二階にかい PDE では、一階いっかいの方向微分ほうこうびぶんを ODE へ変換へんかんする構造こうぞうが直接ちょくせつには成立せいりつしない。たとえば熱方程式ねつほうていしき $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} は拡散かくさんを含ふくむため、単一たんいつの曲線きょくせんに沿そって値あたいが保存ほぞんされる問題もんだいではない。

どこまで成なり立たつか

非線形ひせんけいの保存則ほぞんそくでは、特性曲線とくせいきょくせんが交差こうさし、古典解こてんかいが破綻はたんすることがある。この場合ばあいは弱解じゃくかいや衝撃波しょうげきはの理論りろんが必要ひつようになる。

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