PDE とは何なにか

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、PDE を「偏微分へんびぶんが含ふくまれる式しき」ではなく、空間くうかんと時間じかんに依存いぞんする量りょうの変化へんかを記述きじゅつする方程式ほうていしきとして確認かくにんすることである。

用語ようごと定義ていぎ

偏微分方程式へんびぶんほうていしきPartial differential equation は、未知関数みちかんすうが複数ふくすうの独立変数どくりつへんすうを持もち、その偏導関数へんどうかんすうを含ふくむ方程式ほうていしきである。

定義域ていぎいきDomain は、未知関数みちかんすうを考かんがえる空間領域くうかんりょういきや時空領域じくうりょういきである。

方針ほうしん

PDE では、未知関数みちかんすう・独立変数どくりつへんすう・定義域ていぎいき・条件じょうけんを最初さいしょに確定かくていする。式しきだけを確認かくにんしても、どの問題もんだいを解といているかは決定けっていしない。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

常微分方程式じょうびぶんほうていしきでは、未知関数みちかんすうが 1 変数へんすうだけに依存いぞんするため、初期値しょきちを置おいた後あとは時間発展じかんはってんの問題もんだいとして読よみやすい。一方いっぽう、PDE では空間変数くうかんへんすうと時間変数じかんへんすうが同時どうじに現あらわれ、境界きょうかいの条件じょうけんまでが問題設定もんだいせっていの一部いちぶになる。したがって、式しきの外形がいけいだけで解法かいほうを選えらぶと、初期値問題しょきちもんだいと境界値問題きょうかいちもんだい、全空間ぜんくうかんと有界領域ゆうかいりょういき、拡散かくさんと波動はどうの区別くべつが崩くずれやすい。

この講義こうぎでは、まず何なにが未知関数みちかんすうで、どの変数へんすうが独立変数どくりつへんすうで、どの領域りょういきで何なにの条件じょうけんを課かすかを固定こていする。その後あとに heat・wave・Laplace のような代表だいひょうモデルを比較ひかくしたほうが、式しきと現象げんしょうの対応たいおうが明瞭めいりょうになる。

具体例ぐたいれい

熱方程式ねつほうていしき

では、未知関数みちかんすうは $$u(x,t)$$u(x,t) であり、$$x$$x は位置いち、$$t$$t は時間じかんである。この式しきは温度分布おんどぶんぷが空間的くうかんてきな曲まがりに応おうじて時間変化じかんへんかすることを表あらわす。

ODE との相違そうい

ODE では未知関数みちかんすうが 1 変数へんすうに依存いぞんする。PDE では未知関数みちかんすうが複数変数ふくすうへんすうに依存いぞんし、初期条件しょきじょうけんだけでなく境界条件きょうかいじょうけんが本質的ほんしつてきになる。

同おなじ式しきでも条件じょうけんで問題もんだいが変かわる

熱方程式ねつほうていしき

を考かんがえても、$$x\in \mathbb{R}$$x\in\mathbb{R} の全空間問題ぜんくうかんもんだいと $$0<x<L$$0<x<L の有界区間問題ゆうかいくかんもんだいでは読よみ方かたが変かわる。全空間ぜんくうかんでは Fourier 変換へんかんが自然しぜんな道具どうぐになるが、有界区間ゆうかいくかんでは境界条件きょうかいじょうけんに応おうじた Fourier 級数きゅうすうや固有関数展開こゆうかんすうてんかいが自然しぜんになる。

さらに、$$u(0,t)=u(L,t)=0$$u(0,t)=u(L,t)=0 とする Dirichlet 条件じょうけんと、$$u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$$u_x(0,t)=u_x(L,t)=0 とする Neumann 条件じょうけんでは、保たもたれる物理量ぶつりりょうや平衡状態へいこうじょうたいの形かたちも異ことなる。式しきそのものに加くわえて、条件じょうけんが問題もんだいを規定きていするという事実じじつが PDE の特徴とくちょうである。

代表例だいひょうれいの比較ひかく

熱方程式ねつほうていしき $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} は、温度おんどや濃度のうどが拡散かくさんにより平滑化へいかつかされる現象げんしょうを表あらわす。波動方程式はどうほうていしき $$u_{tt}=c^2{u}_{xx}$$u_{tt}=c^2u_{xx} は、初期変位しょきへんいと初期速度しょきそくどが有限速度ゆうげんそくどで伝播でんぱする現象げんしょうを表あらわす。Laplace 方程式ほうていしき $$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 は、内部ないぶに源みなもとを持もたない平衡状態へいこうじょうたいを表あらわす。

三さんつの例題れいだい

熱方程式ねつほうていしきでは、$$u(x,t)$$u(x,t) を温度おんど、$$x\in (0,L)$$x\in(0,L)、$$t>0$$t>0 とする。初期条件しょきじょうけんは $$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x)、境界条件きょうかいじょうけんは $$u(0,t)=u(L,t)=0$$u(0,t)=u(L,t)=0 のように指定していする。この問題もんだいでは、初期分布しょきぶんぷが時間じかんとともに平滑化へいかつかするかが中心ちゅうしんである。

波動方程式はどうほうていしきでは、$$u(x,t)$$u(x,t) を弦げんの変位へんいとし、$$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x) と $$u_t(x,0)=g\left(x\right)$$u_t(x,0)=g(x) の二条件にじょうけんを指定していする。これは時間じかんについて二階にかいであるため、位置いちだけでなく速度そくどが時間発展じかんはってんを決定けっていする。

Laplace 方程式ほうていしきでは、$$u(x,y)$$u(x,y) を平面領域へいめんりょういき $$\mathrm{\Omega }$$\Omega 上じょうの電位でんいとする。時間じかんは登場とうじょうせず、境界きょうかい $$\mathit{\partial }\mathrm{\Omega }$$\partial\Omega での値あたいが内部ないぶの平衡へいこうを決定けっていする。

単位たんいの確認かくにん

熱方程式ねつほうていしきで $$u$$u を温度おんど $$\left[\mathrm{K}\right]$$[\mathrm{K}]、$$x$$x を長ながさ $$\left[\mathrm{m}\right]$$[\mathrm{m}]、$$t$$t を時間じかん $$\left[\mathrm{s}\right]$$[\mathrm{s}] とすると、$$u_t$$u_t の単位たんいは $$\left[\mathrm{K}/\mathrm{s}\right]$$[\mathrm{K/s}] である。$$u_{xx}$$u_{xx} の単位たんいは $$\left[\mathrm{K}/m^2\right]$$[\mathrm{K/m^2}] なので、$$\kappa$$\kappa は $$\left[m^2/\mathrm{s}\right]$$[\mathrm{m^2/s}] を持もつ。

したがって $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} は次元じげんとして整合せいごうする。

最初さいしょに確認かくにんすること

• 未知関数みちかんすうは $$u(x,t)$$u(x,t) か $$u(x,y)$$u(x,y) か。
• 独立変数どくりつへんすうのうち、時間じかんに相当そうとうする変数へんすうはあるか。
• 定義域ていぎいきは全空間ぜんくうかんか、有界領域ゆうかいりょういきか。
• 条件じょうけんは初期条件しょきじょうけんか、境界条件きょうかいじょうけんか。
• 方程式ほうていしきは線形せんけいか、非線形ひせんけいか。

この確認かくにんを省略しょうりゃくすると、解法かいほうの選択せんたくが式しきの外形がいけいだけに依存いぞんしやすい。つぎに条件じょうけんの役割やくわりを確認かくにんする。

どこまで成なり立たつか

このページで扱あつかったのは、PDE の最初さいしょの分類軸ぶんるいじくである。一次いちじ PDE の特性曲線法とくせいきょくせんほう、二階線形にかいせんけい PDE の楕円型だえんがた・放物型ほうぶつがた・双曲型そうきょくがたの分類ぶんるい、変数分離法へんすうぶんりほうや Fourier 解析かいせきの具体的ぐたいてき適用てきようは別べつページで扱あつかう。また、非線形ひせんけい PDE や弱解じゃくかい、分布論ぶんぷろんはこの入口いりぐちの範囲外はんいがいである。

次つぎに読よむページ

条件じょうけんの置おき方かたを先さきに固かためたい場合ばあいは、初期値問題しょきちもんだいと境界値問題きょうかいちもんだいへ進すすむ。式しきの型かたから現象げんしょうを分類ぶんるいしたい場合ばあいは、heat・wave・Laplace 方程式ほうていしきと二階線形にかいせんけい PDE の分類ぶんるいへ進すすむ。

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