二階線形にかいせんけい PDE の分類ぶんるい

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、二階線形にかいせんけい PDE を係数けいすうの形かたちで分類ぶんるいし、拡散かくさん・平衡へいこう・波動はどうという性質せいしつに対応たいおうさせることである。

用語ようごと定義ていぎ

楕円型だえんがたElliptic equation は、Laplace 方程式ほうていしきのように平衡状態へいこうじょうたいを記述きじゅつする型かたである。

放物型ほうぶつがたParabolic equation は、熱方程式ねつほうていしきのように拡散かくさんを記述きじゅつする型かたである。

双曲型そうきょくがたHyperbolic equation は、波動方程式はどうほうていしきのように伝播でんぱを記述きじゅつする型かたである。

方針ほうしん

分類ぶんるいは解法かいほうの名前なまえではなく、情報じょうほうの伝つたわり方かたを示しめす。楕円型だえんがたでは境界条件きょうかいじょうけんが中心ちゅうしんになり、放物型ほうぶつがたでは時間発展じかんはってんにより平滑化へいかつかが発生はっせいし、双曲型そうきょくがたでは有限速度ゆうげんそくどの伝播でんぱが現あらわれる。

代表例だいひょうれい

• Laplace 方程式ほうていしき $$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 は楕円型だえんがたである。
• 熱方程式ねつほうていしき $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} は放物型ほうぶつがたである。
• 波動方程式はどうほうていしき $$u_{tt}=c^2{u}_{xx}$$u_{tt}=c^2u_{xx} は双曲型そうきょくがたである。

何なにを最初さいしょに判別はんべつするか

二階線形にかいせんけい PDE では、まず最高階さいこうかいの微分項びぶんこうだけを抽出ちゅうしゅつする。低階項ていかいこうや外力項がいりょくこうは解かいの具体形ぐたいけいに影響えいきょうするが、型かたの診断しんだんは主部しゅぶで決きまる。次つぎに、変数へんすうを固定こていし、係数けいすう $$A,B,C$$A,B,C が点てんごとに何なにを示しめすかを確認かくにんする。

判別式はんべつしきの由来ゆらい

二変数にへんすうの二階主部にかいしゅぶ

を確認かくにんする。この二次形式にじけいしきの符号構造ふごうこうぞうが分類ぶんるいを決定けっていする。判別量はんべつりょう $$B^2-AC$$B^2-AC が負ふなら楕円型だえんがた、0 なら放物型ほうぶつがた、正せいなら双曲型そうきょくがたである。

Laplace 方程式ほうていしき $$u_{xx}+u_{yy}=0$$u_{xx}+u_{yy}=0 では $$A=1,B=0,C=1$$A=1,B=0,C=1 なので $$B^2-AC=-1$$B^2-AC=-1 であり楕円型だえんがたである。波動方程式はどうほうていしき $$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0$$u_{tt}-c^2u_{xx}=0 は変数へんすうを $$(x,t)$$(x,t) と考かんがえると符号ふごうが異ことなる二階項にかいこうを持もち、双曲型そうきょくがたになる。

この判別量はんべつりょうは二次方程式にじほうていしきの判別式はんべつしきと同おなじ構造こうぞうから現あらわれる。主部しゅぶを行列ぎょうれつ

に対応たいおうさせると、二階微分にかいびぶんの符号構造ふごうこうぞうは二次形式にじけいしき

で表あらわされる。座標変換ざひょうへんかんで交差項こうさこうを消去しょうきょしたとき、この二次形式にじけいしきが同符号どうふごうの二方向にほうこうを持もつか、零方向れいほうこうを持もつか、異符号いふごうの二方向にほうこうを持もつかが型かたを決定けっていする。

特性方向とくせいほうこうからも同おなじ判別式はんべつしきが出でる。曲線きょくせんの傾かたむきを $$m=dy/dx$$m=dy/dx とすると、主部しゅぶの特性方程式とくせいほうていしきは

の形かたちになる。この二次方程式にじほうていしきの判別式はんべつしきは

である。したがって、実特性方向じつとくせいほうこうが二本にほんある場合ばあいは双曲型そうきょくがた、重複ちょうふくする場合ばあいは放物型ほうぶつがた、実特性方向じつとくせいほうこうが存在そんざいしない場合ばあいは楕円型だえんがたとなる。

標準形ひょうじゅんけいへの入口いりぐち

分類ぶんるいは、座標変換ざひょうへんかんにより主部しゅぶを簡単かんたんな形かたちへ近ちかづける発想はっそうにも接続せつぞくする。楕円型だえんがたでは $$u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }$$u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}、放物型ほうぶつがたでは $$u_{\xi \xi }$$u_{\xi\xi}、双曲型そうきょくがたでは $$u_{\xi \eta }$$u_{\xi\eta} のような標準形ひょうじゅんけいが目標もくひょうになる。完全かんぜんな変換計算へんかんけいさんは別項べっこうの内容ないようだが、ここで重要じゅうようなのは、判別式はんべつしきが座標ざひょうの選えらび方かたではなく主部しゅぶの幾何きかを反映はんえいする量りょうであることだ。

反例はんれいまたは限界げんかい

係数けいすうが場所ばしょで変化へんかする方程式ほうていしきでは、領域全体りょういきぜんたいで型かたが一定いっていとは限かぎらない。たとえば $$y{u}_{xx}+u_{yy}=0$$y u_{xx}+u_{yy}=0 は、$$y>0$$y>0 と $$y<0$$y<0 で主部しゅぶの符号構造ふごうこうぞうが変化へんかする。このような場合ばあい、一点いってんの判定はんていだけで問題全体もんだいぜんたいの解法かいほうを決定けっていしてはならない。

分類ぶんるいの利点りてん

分類ぶんるいは解法かいほうと期待きたいされる性質せいしつを案内あんないする。楕円型だえんがたでは境界値問題きょうかいちもんだいと maximum principle、放物型ほうぶつがたでは時間発展じかんはってんと平滑化へいかつか、双曲型そうきょくがたでは特性とくせいとエネルギーが中心ちゅうしんになる。つぎに三さん類型るいけいの代表例だいひょうれいを比較ひかくする。

よくある誤あやまり

• 分類ぶんるいを記号上きごうじょうの名称めいしょうとして暗記あんきし、解かいの性質せいしつとの対応たいおうを確認かくにんしない。
• 境界条件きょうかいじょうけんと初期条件しょきじょうけんの役割やくわりを型かたごとに区別くべつしない。
• 係数けいすうが変化へんかする場合ばあいに、一点いってんの分類ぶんるいだけで全体ぜんたいを即断そくだんする。

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