PDE の初期値問題しょきちもんだいと境界値問題きょうかいちもんだい

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、PDE では方程式ほうていしきだけでなく、時間方向じかんほうこうの条件じょうけんと空間境界くうかんきょうかいの条件じょうけんを明確めいかくに区別くべつすることである。

用語ようごと定義ていぎ

初期条件しょきじょうけんInitial condition は、時間じかんの出発時刻しゅっぱつじこくで未知関数みちかんすうや時間微分じかんびぶんを指定していする条件じょうけんである。

境界条件きょうかいじょうけんBoundary condition は、空間領域くうかんりょういきの境界きょうかいで未知関数みちかんすうや法線微分ほうせんびぶんを指定していする条件じょうけんである。

方針ほうしん

時間発展じかんはってんを扱あつかう問題もんだいでは初期条件しょきじょうけんが中心ちゅうしんになる。有界領域ゆうかいりょういきで空間分布くうかんぶんぷを決定けっていする問題もんだいでは境界条件きょうかいじょうけんが中心ちゅうしんになる。熱方程式ねつほうていしきや波動方程式はどうほうていしきでは両方りょうほうが同時どうじに現あらわれる。

代表的だいひょうてきな境界条件きょうかいじょうけん

• Dirichlet 条件じょうけん: 境界きょうかいで値あたいを指定していする。
• Neumann 条件じょうけん: 境界きょうかいで法線微分ほうせんびぶんを指定していする。
• Robin 条件じょうけん: 値あたいと法線微分ほうせんびぶんの線形結合せんけいけつごうを指定していする。

条件じょうけんの配置はいち

時間発展じかんはってんの問題もんだいでは、初期条件しょきじょうけんは時刻じこく $$t=0$$t=0 の断面だんめんに置おかれる。境界条件きょうかいじょうけんは空間領域くうかんりょういきの端はしや境界面きょうかいめんに置おかれる。したがって熱方程式ねつほうていしきでは、初期分布しょきぶんぷが時間じかんの出発点しゅっぱつてんを指定していし、境界条件きょうかいじょうけんが外部がいぶとの交換こうかんを指定していする。

比較例ひかくれい

一次元いちじげんの熱方程式ねつほうていしき $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} を $$0<x<L$$0<x<L で考かんがえる。$$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x) は初期分布しょきぶんぷを指定していする。一方いっぽう、$$u(0,t)=u(L,t)=0$$u(0,t)=u(L,t)=0 は両端りょうたんを固定温度こていおんどにする Dirichlet 条件じょうけんである。初期条件しょきじょうけんを変更へんこうすると出発時点しゅっぱつじてんの分布ぶんぷが変化へんかし、境界条件きょうかいじょうけんを変更へんこうすると長時間後ちょうじかんごの平衡へいこうや熱ねつの流出入りゅうしゅつにゅうが変化へんかする。

波動方程式はどうほうていしき $$u_{tt}=c^2{u}_{xx}$$u_{tt}=c^2u_{xx} では、$$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x) だけでは不足ふそくする。初期速度しょきそくど $$u_t(x,0)=g\left(x\right)$$u_t(x,0)=g(x) も必要ひつようである。これは時間じかんについて二階にかいの方程式ほうていしきであるため、位置いちと速度そくどの両方りょうほうが時間発展じかんはってんを決定けっていするからである。

三さんつのモデル

熱棒ねつぼうモデルでは、Dirichlet 条件じょうけんは端点たんてんを恒温槽こうおんそうへ接続せつぞくすることを表あらわす。Neumann 条件じょうけんは断熱だんねつや熱流束ねつりゅうそくの指定していを表あらわす。Robin 条件じょうけんは外気がいきとの熱交換ねつこうかんを表あらわす。

弦げんモデルでは、Dirichlet 条件じょうけんは端はしを固定こていすること、Neumann 条件じょうけんは端はしの傾かたむきや力ちからの条件じょうけんを指定していすることに対応たいおうする。

静電せいでんポテンシャルでは、Dirichlet 条件じょうけんは導体境界どうたいきょうかいの電位でんいを指定していし、Neumann 条件じょうけんは境界きょうかいを通過つうかする電場でんばの法線成分ほうせんせいぶんを指定していする。

物理的ぶつりてきな意味いみ

Dirichlet 条件じょうけんは境界きょうかいの値あたいを外部がいぶから固定こていする条件じょうけんである。Neumann 条件じょうけんは境界きょうかいを通過つうかする流束りゅうそくや熱流ねつりゅうを指定していする条件じょうけんである。Robin 条件じょうけんは外界がいかいとの交換こうかんを含ふくむ条件じょうけんとして現あらわれる。

一意性いちいせいへの接続せつぞく

PDE では条件じょうけんが不足ふそくすると解かいが一意いちいに決定けっていしない。逆ぎゃくに、条件じょうけんを過剰かじょうに指定していすると解かいが存在そんざいしない場合ばあいがある。この均衡きんこうを確認かくにんするため、代表だいひょう方程式ほうていしきの性質せいしつを確認かくにんする。

よくある誤あやまり

• 初期条件しょきじょうけんと境界条件きょうかいじょうけんを同一視どういつしする。
• 方程式ほうていしきだけで解かいが一意いちいに決定けっていすると仮定かていする。
• 境界きょうかいの向むきや法線方向ほうせんほうこうを確認かくにんせず Neumann 条件じょうけんを適用てきようする。

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