場合ばあいの数かずと順列じゅんれつ・組合くみあせ

date2026-03-27description場合の数と順列・組合せを、並べるのか選ぶのかという見分け方から整理し、確率の前提となる数え上げの土台を説明します。prerequisites階乗 / 四則演算 / 条件の整理type講義statusactive

mathprobabilityhighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、並ならべる問題もんだいなのか、選えらぶ問題もんだいなのかを最初さいしょに見分みわけることです。

場合ばあいの数かずでつまずきやすいのは、式しきを覚おぼえても「どの場面ばめんでどれを使つかうか」が曖昧あいまいなまま計算けいさんを始はじめることです。この講義こうぎでは、順序じゅんじょが重要じゅうようかどうかで整理せいりします。

順列じゅんれつPermutation とは、順序じゅんじょを区別くべつして並ならべる方法ほうほうの数かずです。

組合くみあせCombination とは、順序じゅんじょを区別くべつせずに選えらぶ方法ほうほうの数かずです。

まず「同おなじ要素ようそを並ならべ替かえたら別物べつものか」を問といます。別物べつものなら順列じゅんれつ、同おなじなら組合くみあせです。そのあと、重複ちょうふくの有無うむや場合分ばあいわけを考かんがえます。

座席ざせきを決きめる問題もんだいでは、A さんが 1 番目ばんめか 2 番目ばんめかで結果けっかは違ちがいます。これは順列じゅんれつです。いっぽう、委員いいんを 3 人にん選えらぶ問題もんだいでは、A,B,C の選えらばれ方かたに順番じゅんばんはありません。これは組合くみあせです。

$n$ 個こから $r$ 個こを順番じゅんばんつきで選えらぶ数かずは

_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}

です。

$n$ 個こから $r$ 個こを順番じゅんばんなしで選えらぶ数かずは

_{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

です。

順列じゅんれつは、組合くみあせで選えらんだあとに、その $r$ 個こを並ならべると考かんがえると

_{n} P_{r} =_{n} C_{r} \cdot r!

となります。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")]_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")]_{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")]_{n} P_{r} =_{n} C_{r} \cdot r!