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統計の基本md 4208621
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統計の基本
mathstatisticshighschoollecture
1導入
この講義で中心に置く発想は、平均だけでなく、「どれくらい散らばっているか」まで見て集団を捉えることである。
統計で不親切に感じやすいのは、平均値、分散、標準偏差の式だけが先に出てきて、「なぜこの量を見るのか」が曖昧なまま進むことである。この講義では、まず平均が何を表し、なぜそれだけでは足りないかを確認してから、散らばりの量へ進む。
2用語と定義
平均値 は
\overline{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}
である。
分散 は
\frac{(x_1-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2}{n}
である。
標準偏差 は、分散の平方根である。
3方針
統計では、まず代表値として平均を見て、そのあと分散や標準偏差で散らばりを見る。
大切なのは、計算を始める前に「この問題で知りたいのは中心か、散らばりか」を決めることである。平均だけでよい場面と、散らばりまで見ないと判断できない場面は明確に違う。
4直感的な説明
平均点が同じでも、全員がほぼ同じ点数なのか、高得点と低得点に大きく割れているのかでは意味が違う。この「平均からの離れ」を数で表したものが分散である。
たとえば、A 組も B 組も平均点が 70 点だとしても、A 組が 68,70,72 のように集まっていて、B 組が 30,70,110 のように広がっているなら、学力の分布としては別物である。統計はこの違いを言葉ではなく数で表そうとする。
5厳密な説明
5.11. 平均値
x_1,\dots,x_n の平均値は
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
である。
5.22. 分散
各値と平均値の差をそのまま足すと 0 になるので、二乗して
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2
を考える。これが分散である。
差を二乗するのは、正と負が打ち消し合うのを防ぐためであり、平均から遠い値ほど強く効かせるためでもある。
5.33. 標準偏差
分散は二乗の単位を持つので、元の値の感覚へ戻したいときは平方根を取る。これが標準偏差である。
5.44. 具体例
1,2,3 の平均値は 2 である。したがって分散は
\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\frac{2}{3}
である。
標準偏差は
\sqrt{\frac{2}{3}}
である。これで「平均からどれくらい離れているか」を、元の値と同じ尺度で読める。
6別の見方
平均は集団の重心と見てもよい。分散は、その重心から各点がどれくらい散らばっているかを測る量である。この見方に立つと、平均と分散が別々の数ではなく、集団の中心と広がりを表す組として見えてくる。
7見分け方
- 集団の中心を知りたいなら平均である。
- 散らばりや安定性を見たいなら分散や標準偏差である。
- 相関や回帰が出る前でも、まず平均と散らばりを押さえると全体像が見える。
- 平均値が同じ 2 集団を比べる問題では、分散や標準偏差を見ないと違いを見落としやすい。
8最終形
\boxed{\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i}
\boxed{\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}
9一言でいうと
- 統計では、平均で中心を、分散で散らばりを見る。