正規分布せいきぶんぷの入口いりぐち

date2026-03-28description正規分布の入口を、平均のまわりに左右対称に集まる分布として導入し、標準化と統計で頻出する理由まで説明します。prerequisites積分法の基本 / 確率分布の基本 / 二重積分の感覚type講義statusactive

mathstatisticsprobabilityhighschoolundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、正規分布せいきぶんぷは「平均へいきんのまわりに値あたいが集あつまり、左右対称さゆうたいしょうに広ひろがる」分布ぶんぷの代表例だいひょうれいだと捉とらえることです。

統計とうけいで平均へいきんや標準偏差ひょうじゅんへんさを学まなんだあと、つぎに大切たいせつになるのは「実際じっさいのデータがどんな形かたちに散ちらばるか」です。そこで中心ちゅうしんが一番いちばん出でやすく、離はなれるほど出でにくくなる分布ぶんぷとして正規分布せいきぶんぷを見みます。

用語ようごと定義ていぎ

正規分布せいきぶんぷNormal distribution とは、平均へいきん $μ$ 、標準偏差ひょうじゅんへんさ $σ$ によって形かたちが決きまる、左右対称さゆうたいしょうな連続分布れんぞくぶんぷです。

標準化ひょうじゅんかStandardization とは、

Z = \frac{X - μ}{σ}

によって、平均へいきん 0、標準偏差ひょうじゅんへんさ 1 の形かたちへ直なおすことです。

方針ほうしん

まず正規分布せいきぶんぷを「平均へいきんのまわりに山やまがある分布ぶんぷ」として直感的ちょっかんてきに捉とらえます。そのあと、平均へいきんと標準偏差ひょうじゅんへんさが何なにを決きめるかを整理せいりし、最後さいごに標準化ひょうじゅんかの意味いみを押おさえます。

data/lecture/math/statistics/確率分布の基本-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

身長しんちょう、試験点しけんてん、測定誤差そくていごさなどは、極端きょくたんに大おおきい値あたいや小ちいさい値あたいより、真まん中なかに近ちかい値あたいが出でやすいことが多おおいです。この「中央ちゅうおうが厚あつく、端はしへいくほど薄うすくなる」形かたちを表あらわす代表的だいひょうてきな分布ぶんぷが正規分布せいきぶんぷです。

平均へいきんは山やまの中心ちゅうしんを、標準偏差ひょうじゅんへんさは山やまの広ひろがりを決きめます。つまり正規分布せいきぶんぷでは、どこが中心ちゅうしんかと、どれくらい散ちらばるかが分わかれば、全体像ぜんたいぞうのかなりの部分ぶぶんが見みえてきます。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 密度関数みつどかんすう

正規分布せいきぶんぷの密度関数みつどかんすうは

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

です。

ここで $μ$ が平均へいきん、 $σ$ が標準偏差ひょうじゅんへんさです。

この係数けいすうがなぜ

\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}

になるかは、全体ぜんたいの面積めんせきが 1 になるように決きめているからです。つまり

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

となるように前まえの定数ていすうを選えらばなければなりません。

1.5 ガウス積分せきぶん

標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷの核かくになる

I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d x

を直接ちょくせつ積分せきぶんするのは難むずかしいですが、2 乗じょうして

I^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2}) / 2} d x d y

と見みると平面へいめんの積分せきぶんになります。ここで極座標きょくざひょう $x = r \cos θ, y = r \sin θ$ を使つかうと

I^{2} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2} / 2} r d r d θ

です。さらに $u = r^{2} / 2$ と置換ちかんすると

\int_{0}^{\infty} e^{- r^{2} / 2} r d r = \int_{0}^{\infty} e^{- u} d u = 1

だから

I^{2} = 2 π

となり、

I = \sqrt{2 π}

を得えます。これがガウス積分せきぶんです。

したがって

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x = 1

となるので、標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷの密度関数みつどかんすうは

\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

でなければなりません。さらに $x = μ + σ z$ と変数変換へんすうへんかんすると、一般いっぱんの正規分布せいきぶんぷで

\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}

が現あらわれる理由りゆうも分わかります。

2. 左右対称さゆうたいしょう

式しきの中なかに $(x - μ)^{2}$ が入はいっているので、 $x = μ$ を中心ちゅうしんとして左右対称さゆうたいしょうです。したがって平均へいきんの左右さゆうで同おなじだけ離はなれた値あたいは、同おなじ出でやすさを持もちます。

3. 標準化ひょうじゅんか

平均へいきん $μ$ 、標準偏差ひょうじゅんへんさ $σ$ の分布ぶんぷを

Z = \frac{X - μ}{σ}

で変形へんけいすると、平均へいきん 0、標準偏差ひょうじゅんへんさ 1 の標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷになります。

4. 統計とうけいで頻出ひんしゅつする理由りゆう

細こまかい誤差ごさや独立どくりつな要因よういんがたくさん重かさなると、全体ぜんたいとしては正規分布せいきぶんぷに近ちかい形かたちが現あらわれやすいことが多おおいです。このため、統計とうけいや測定そくていの話題わだいで頻繁ひんぱんに出でてきます。

見分みわけ方かた

平均へいきんのまわりに左右対称さゆうたいしょうな山形やまがたの分布ぶんぷが描えがかれていたら、正規分布せいきぶんぷを疑うたがいます。
標準化ひょうじゅんかという言葉ことばが出でたら、 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ を思おもい出だします。
点数てんすうや偏差値へんさちの話題わだいでは、平均へいきんと標準偏差ひょうじゅんへんさが主役しゅやくです。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Z = \frac{X - μ}{σ}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

一言ひとことでいうと

正規分布せいきぶんぷは、平均へいきんのまわりに左右対称さゆうたいしょうに集あつまる分布ぶんぷの基本形きほんけいです。