統計とうけいの基本きほん

date2026-03-27description統計の基本を、平均で中心を、分散と標準偏差で散らばりを見る考え方から整理し、データの見方の土台を作ります。type講義statusactive

mathstatisticshighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、平均へいきんだけでなく、「どれくらい散ちらばっているか」まで見みて集団しゅうだんを捉とらえることです。

統計とうけいで不親切ふしんせつに感かんじやすいのは、平均値へいきんち、分散ぶんさん、標準偏差ひょうじゅんへんさの式しきだけが先さきに出でてきて、「なぜこの量りょうを見みるのか」が曖昧あいまいなまま進すすむことです。この講義こうぎでは、まず平均へいきんが何なにを表あらわし、なぜそれだけでは足たりないかを確認かくにんしてから、散ちらばりの量りょうへ進すすみます。

用語ようごと定義ていぎ

平均値へいきんちMean は

\overline{x} = \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}

です。

分散ぶんさんVariance は

\frac{(x_{1} - \overline{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \overline{x})^{2}}{n}

です。

標準偏差ひょうじゅんへんさStandard deviation は、分散ぶんさんの平方根へいほうこんです。

方針ほうしん

統計とうけいでは、まず代表値だいひょうちとして平均へいきんを見みて、そのあと分散ぶんさんや標準偏差ひょうじゅんへんさで散ちらばりを見みます。

大切たいせつなのは、計算けいさんを始はじめる前まえに「この問題もんだいで知しりたいのは中心ちゅうしんか、散ちらばりか」を決きめることです。平均へいきんだけでよい場面ばめんと、散ちらばりまで見みないと判断はんだんできない場面ばめんは明確めいかくに違ちがいます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

平均点へいきんてんが同おなじでも、全員ぜんいんがほぼ同おなじ点数てんすうなのか、高得点こうとくてんと低得点ていとくてんに大おおきく割われているのかでは意味いみが違ちがいます。この「平均へいきんからの離はなれ」を数すうで表あらわしたものが分散ぶんさんです。

たとえば、A 組くみも B 組くみも平均点へいきんてんが 70 点てんだとしても、A 組くみが 68,70,72 のように集あつまっていて、B 組くみが 30,70,110 のように広ひろがっているなら、学力がくりょくの分布ぶんぷとしては別物べつものです。統計とうけいはこの違ちがいを言葉ことばではなく数すうで表あらわそうとします。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 平均値へいきんち

$x_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], x_{n}$ の平均値へいきんちは

\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

です。

2. 分散ぶんさん

各値かくちと平均値へいきんちの差さをそのまま足たすと 0 になるので、二乗にじょうして

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}

を考かんがえます。これが分散ぶんさんです。

差さを二乗にじょうするのは、正せいと負ふが打うち消けし合あうのを防ふせぐためであり、平均へいきんから遠とおい値あたいほど強つよく効きかせるためでもあります。

3. 標準偏差ひょうじゅんへんさ

分散ぶんさんは二乗にじょうの単位たんいを持もつので、元もとの値あたいの感覚かんかくへ戻もどしたいときは平方根へいほうこんを取とります。これが標準偏差ひょうじゅんへんさです。

4. 具体例ぐたいれい

$1, 2, 3$ の平均値へいきんちは 2 です。したがって分散ぶんさんは

\frac{(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2} + (3 - 2)^{2}}{3} = \frac{2}{3}

です。

標準偏差ひょうじゅんへんさは

\sqrt{\frac{2}{3}}

です。これで「平均へいきんからどれくらい離はなれているか」を、元もとの値あたいと同おなじ尺度しゃくどで読よめます。

別べつの見方みかた

平均へいきんは集団しゅうだんの重心じゅうしんと見みてもよいです。分散ぶんさんは、その重心じゅうしんから各点かくてんがどれくらい散ちらばっているかを測はかる量りょうです。この見方みかたに立たつと、平均へいきんと分散ぶんさんが別々べつべつの数すうではなく、集団しゅうだんの中心ちゅうしんと広ひろがりを表あらわす組くとして見みえてきます。

見分みわけ方かた

集団しゅうだんの中心ちゅうしんを知しりたいなら平均へいきんです。
散ちらばりや安定性あんていせいを見みたいなら分散ぶんさんや標準偏差ひょうじゅんへんさです。
相関そうかんや回帰かいきが出でる前まえでも、まず平均へいきんと散ちらばりを押おさえると全体像ぜんたいぞうが見みえます。
平均値へいきんちが同おなじ 2 集団しゅうだんを比くらべる問題もんだいでは、分散ぶんさんや標準偏差ひょうじゅんへんさを見みないと違ちがいを見落みおとしやすいです。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] V a r (X) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}

一言ひとことでいうと

統計とうけいでは、平均へいきんで中心ちゅうしんを、分散ぶんさんで散ちらばりを見みます。