スカラー場ばとベクトル場ば

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、空間くうかんの各点かくてんに何なにを対応たいおうさせるかにより、スカラー場ばとベクトル場ばを区別くべつすることである。

用語ようごと定義ていぎ

スカラー場ばScalar field は、各点かくてんに数値すうちを対応たいおうさせる関数かんすうである。温度おんどや圧力あつりょくが典型例てんけいれいである。

ベクトル場ばVector field は、各点かくてんにベクトルを対応たいおうさせる関数かんすうである。速度場そくどばや力場りきばが典型例てんけいれいである。

方針ほうしん

スカラー場ばでは「どの方向ほうこうに最もっとも増加ぞうかするか」を確認かくにんする。ベクトル場ばでは「どれだけ流入流出りゅうにゅうりゅうしゅつするか」「どれだけ回転かいてんするか」を確認かくにんする。この区別くべつが勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんの入口いりぐちになる。

具体例ぐたいれい

$$T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 はスカラー場ばであり、各点かくてんに 1 つの数かずを対応たいおうさせる。

$$\mathit{F}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x) はベクトル場ばであり、各点かくてんに接線方向せっせんほうこうのベクトルを対応たいおうさせる。この場ばは原点げんてんの周囲しゅういを回まわる性質せいしつを持もつ。

場ばの例れい

温度場おんどばはスカラー場ばであり、各点かくてんの温度おんどを返かえす。高度場こうどばもスカラー場ばであり、地形ちけいの高たかさを返かえす。速度場そくどばはベクトル場ばであり、流体りゅうたいの各点かくてんでの速度そくどを返かえす。電場でんばもベクトル場ばであり、単位電荷たんいでんかに働はたらく力ちからを返かえす。

単位たんいを付つけると、演算えんざんの意味いみも明確めいかくになる。たとえば温度勾配おんどこうばい $$\nabla T$$\nabla T の単位たんいは $$\mathrm{K}/\mathrm{m}$$\mathrm{K/m} であり、一いちメートルあたりの温度変化おんどへんかを表あらわす。

等位面とういめんと流線りゅうせん

スカラー場ば $$T$$T に対たいして $$T(x,y,z)=c$$T(x,y,z)=c を満みたす点てんの集合しゅうごうを等位面とういめんという。等位面とういめんは同おなじ値あたいを持もつ場所ばしょを示しめす。ベクトル場ばでは、各点かくてんでベクトル場ばに接せっする曲線きょくせんを流線りゅうせんという。流線りゅうせんは速度場そくどばに沿そう粒子りゅうしの移動方向いどうほうこうを示しめす。

二次元にじげんのスカラー場ば $$T(x,y)=x^2+y^2$$T(x,y)=x^2+y^2 では、等位線とういせん $$T=c$$T=c は半径はんけい $$\sqrt{c}$$\sqrt{c} の円えんである。三次元さんじげんでは等位面とういめんが球面きゅうめんになる。一方いっぽう、ベクトル場ば $$\mathit{F}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x) の流線りゅうせんは原点げんてんを中心ちゅうしんとする円えんである。等位線とういせんは値あたいの集合しゅうごうを表あらわし、流線りゅうせんは移動方向いどうほうこうを表あらわすため、役割やくわりは異ことなる。

比較例ひかくれい

$$\mathit{F}(x,y)=(1,0)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(1,0) は全点ぜんてんで右向みぎむきの一定速度場いっていそくどばである。流線りゅうせんは水平線すいへいせんになる。$$\mathit{G}(x,y)=(x,y)$$\boldsymbol{G}(x,y)=(x,y) は原点げんてんから外向そとむきに広ひろがる場ばであり、流線りゅうせんは原点げんてんから出でる半直線はんちょくせんになる。同おなじベクトル場ばでも、長ながさが一定いっていか場所依存ばしょいぞんかにより後続こうぞくの divergence の値あたいが変化へんかする。

次つぎへの接続せつぞく

スカラー場ばには勾配こうばいを適用てきようし、ベクトル場ばには発散はっさんや回転かいてんを適用てきようする。この区別くべつを固定こていしてから、局所演算子きょくしょえんざんしへ進行しんこうする。

よくある誤あやまり

• スカラー場ばとベクトル場ばを値あたいの型かたで区別くべつしない。
• 座標表示ざひょうひょうじを場ばそのものと同一視どういつしする。
• 図示ずしされた矢印やじるしの長ながさだけを確認かくにんし、方向ほうこうの変化へんかを無視むしする。

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