交流回路こうりゅうかいろの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_001e52cf874196d55c07921f5dbdf1efdescription交流回路を実効値と位相の観点から整理し、抵抗・コイル・コンデンサーの電圧電流関係とリアクタンスを証明する講義である。prerequisites電流と回路 / 直流回路の基本法則 / コンデンサー / ファラデーの法則の基本type講義statusactive

physicselectromagnetismac-circuitlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、交流こうりゅうの大おおきさと位相いそうを同時どうじに扱あつかう方法ほうほうを説明せつめいする。

直流回路ちょくりゅうかいろでは、抵抗ていこうについて $V = R I$ を使つかえばよかった。交流回路こうりゅうかいろでは、電圧でんあつと電流でんりゅうが時間じかんとともに振動しんどうする。コイルは電流でんりゅうの変化へんかに反応はんのうし、コンデンサーは電圧でんあつの変化へんかに反応はんのうするので、位相いそうのずれが本質ほんしつになる。

2用語ようごと定義ていぎ

角振動数かくしんどうすうangular frequency $ω$ とは、正弦波せいげんはの位相いそうが単位時間たんいじかんに進すすむ量りょうであり、 $ω = 2 π f$ である。

実効値じっこうちroot mean square valueとは、同おなじ抵抗ていこうで同おなじ平均発熱へいきんはつねつを与あたえる直流ちょくりゅうの値あたいである。

リアクタンスreactanceとは、交流こうりゅうでコイルやコンデンサーが示しめす、電圧振幅でんあつしんぷくと電流振幅でんりゅうしんぷくの比ひである。

3方針ほうしん

交流回路こうりゅうかいろでは、素子そしごとに出発式しゅっぱつしきを分わける。

抵抗ていこう： $v = R i$ 。
コイル： $v = L d i / d t$ 。
コンデンサー： $q = C v, i = d q / d t$ 。

ここから、位相いそうと振幅しんぷくの関係かんけいを証明しょうめいする。

4整理せいり 1：正弦波せいげんはの実効値じっこうち

v (t) = V_{0} \sin ω t

の実効値じっこうちは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] V_{r m s} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}

である。電流でんりゅうについても

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] I_{r m s} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}

である。

4.1証明しょうめい

抵抗ていこう $R$ に電圧でんあつ $v (t) = V_{0} \sin ω t$ をかけると、瞬間電力しゅんかんでんりょくは

p (t) = \frac{v (t)^{2}}{R} = \frac{V_{0^{2}}}{R} \sin^{2} ω t

である。1 周期しゅうきの平均へいきんを取とると、

\overline{p} = \frac{V_{0^{2}}}{R} \overline{\sin^{2} ω t} = \frac{V_{0^{2}}}{2 R}

である。実効値じっこうち $V_{r m s}$ は、同おなじ抵抗ていこうに直流電圧ちょくりゅうでんあつとしてかけたとき同おなじ平均電力へいきんでんりょくを与あたえる値あたいなので、

\frac{V_{{r m s}^{2}}}{R} = \frac{V_{0^{2}}}{2 R}

である。よって

V_{r m s} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}

を得える。電流でんりゅうも同おなじ計算けいさんである。

5関係式かんけいしき 2：抵抗ていこうでは電圧でんあつと電流でんりゅうが同位相どういそう

抵抗ていこう $R$ で

i (t) = I_{0} \sin ω t

なら、

v (t) = R I_{0} \sin ω t

であり、電圧でんあつと電流でんりゅうは同位相どういそうである。

5.1証明しょうめい

抵抗ていこうでは瞬間しゅんかんごとにオームの法則ほうそく

v = R i

が成立せいりつする。したがって

v (t) = R I_{0} \sin ω t

である。電圧でんあつも電流でんりゅうも同おなじ $\sin ω t$ に比例ひれいするため、位相いそうはずれない。

6関係式かんけいしき 3：コイルのリアクタンス

コイルで

i (t) = I_{0} \sin ω t

なら、

v (t) = ω L I_{0} \sin (ω t + \frac{π}{2})

であり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] X_{L} = ω L

である。電圧でんあつは電流でんりゅうより $π / 2$ だけ進すすむ。

6.1証明しょうめい

自己誘導じこゆうどうの関係かんけいより、符号ふごうを受動符号じゅどうふごうに合あわせるとコイルの端子電圧たんしでんあつは

v = L \frac{d i}{d t}

である。ここに $i (t) = I_{0} \sin ω t$ を代入だいにゅうすると、

\frac{d i}{d t} = ω I_{0} \cos ω t = ω I_{0} \sin (ω t + \frac{π}{2})

なので、

v (t) = ω L I_{0} \sin (ω t + \frac{π}{2})

である。電圧振幅でんあつしんぷくは $V_{0} = ω L I_{0}$ だから、振幅しんぷくの比ひは

\frac{V_{0}}{I_{0}} = ω L

である。これを $X_{L}$ と書かく。

7関係式かんけいしき 4：コンデンサーのリアクタンス

コンデンサーで

v (t) = V_{0} \sin ω t

なら、

i (t) = ω C V_{0} \sin (ω t + \frac{π}{2})

であり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] X_{C} = \frac{1}{ω C}

である。電流でんりゅうは電圧でんあつより $π / 2$ だけ進すすむ。

7.1証明しょうめい

コンデンサーでは

q = C v

であり、電流でんりゅうは

i = \frac{d q}{d t}

である。 $v (t) = V_{0} \sin ω t$ なら

q (t) = C V_{0} \sin ω t

なので、

i (t) = \frac{d q}{d t} = ω C V_{0} \cos ω t = ω C V_{0} \sin (ω t + \frac{π}{2})

である。電流振幅でんりゅうしんぷくは $I_{0} = ω C V_{0}$ だから、

\frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{1}{ω C}

である。これを $X_{C}$ と書かく。

8関係式かんけいしき 5：直列ちょくれつ RLC 回路かいろのインピーダンス

正弦波定常状態せいげんはていじょうじょうたいの直列ちょくれつ RLC 回路かいろでは、電流実効値でんりゅうじっこうち $I$ と電圧実効値でんあつじっこうち $V$ の比ひは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Z = \frac{V}{I} = \sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}}

である。

8.1証明しょうめい

直列ちょくれつでは電流でんりゅうが共通きょうつうである。抵抗ていこうの電圧でんあつは電流でんりゅうと同位相どういそうで $I R$ 、コイルの電圧でんあつは $π / 2$ 進すすんで $I ω L$ 、コンデンサーの電圧でんあつは $π / 2$ 遅おくれて $I / (ω C)$ である。

位相いそうが直交ちょっこうする成分せいぶんとして足たすと、電流でんりゅうと同位相どういそうの成分せいぶんは $I R$ 、直交成分ちょっこうせいぶんは

I (ω L - \frac{1}{ω C})

である。したがって全電圧ぜんでんあつの大おおきさは

V = \sqrt{(I R)^{2} + {[I (ω L - \frac{1}{ω C})]}^{2}}

である。 $I$ をくくると

V = I \sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}}

なので、

Z = \frac{V}{I} = \sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}}

を得える。

9見分みわけ方かた

実効値じっこうちは平均発熱へいきんはつねつで定義ていぎする。
コイルは $ω$ が大おおきいほど流ながれにくい。
コンデンサーは $ω$ が大おおきいほど流ながれやすい。
RLC では $X_{L} - X_{C}$ の差さが位相いそうの原因げんいんになる。

10どこまで成立せいりつするか

ここでは正弦波せいげんはの定常交流ていじょうこうりゅうを仮定かていした。過渡現象かとげんしょうでは、微分方程式びぶんほうていしきとして時間変化じかんへんかを解とく必要ひつようがある。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] V_{r m s} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] X_{L} = ω L, X_{C} = \frac{1}{ω C}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}

12一言ひとこと

交流回路こうりゅうかいろでは、抵抗ていこうの大おおきさだけでなく、コイルとコンデンサーが作つくる位相差いそうさを追おう。