直流回路ちょくりゅうかいろの基本法則きほんほうそく

date2026-07-14document_iddoc_8f82db3bd5421eb450ee7813a759a12cdescription直流回路を電荷保存とエネルギー保存から読み、キルヒホッフの法則、抵抗の直列・並列合成、分圧・分流を証明する講義である。prerequisites電流と回路 / 電場と電位type講義statusactive

physicselectromagnetismdc-circuitlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、直流回路ちょくりゅうかいろを公式こうしきの組くみ合あわせではなく、電荷保存でんかほぞんとエネルギー保存ほぞんとして解説かいせつする。

分岐点ぶんきてんで電荷でんかが消きえたり生うまれたりしないため、入はいる電流でんりゅうと出でる電流でんりゅうは等ひとしい。また、閉とじた経路けいろを 1 周しゅうして元もとの点てんに戻もどると電位でんいも元もとに戻もどるため、電位差でんいさの和わは 0 になる。

2用語ようごと定義ていぎ

節点せってんnodeとは、導線どうせんが分岐ぶんきする点てんである。

閉路へいろloopとは、回路かいろの中なかで一周いっしゅうして元もとの点てんに戻もどる経路けいろである。

3法則ほうそく 1：キルヒホッフの電流法則でんりゅうほうそく

節点せってんでは、流入りゅうにゅうする電流でんりゅうの和わと流出りゅうしゅつする電流でんりゅうの和わが等ひとしい。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum I_{i n} = \sum I_{o u t}

3.1証明しょうめい

節点せってんに電荷でんかが蓄積ちくせきしない定常状態ていじょうじょうたいを考かんがえる。短みじかい時間じかん $d t$ の間あいだに節点せってんへ入はいる電荷量でんかりょうは

(\sum I_{i n}) d t

であり、出でる電荷量でんかりょうは

(\sum I_{o u t}) d t

である。節点せってんに電荷でんかが増減ぞうげんしないので、この 2 つは等ひとしい。 $d t > 0$ で割わって

\sum I_{i n} = \sum I_{o u t}

を得える。

4法則ほうそく 2：キルヒホッフの電圧法則でんあつほうそく

閉路へいろを 1 周しゅうすると、電位差でんいさの符号付ふごうつき和わは 0 である。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum Δ V = 0

4.1証明しょうめい

電位でんいは点てんに対応たいおうする状態量じょうたいりょうである。閉路へいろを 1 周しゅうすると、出発点しゅっぱつてんと到着点とうちゃくてんは同おなじである。したがって電位でんいの全変化ぜんへんかは

V_{f i n a l} - V_{i n i t i a l} = 0

である。途中とちゅうの電位差でんいさを足たし合あわせたものが全変化ぜんへんかなので、

\sum Δ V = 0

である。

5整理せいり 3：抵抗ていこうの直列合成ちょくれつごうせいと並列合成へいれつごうせい

抵抗ていこうの直列接続ちょくれつせつぞくでは、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] R = R_{1} + R_{2} + \dots

である。並列接続へいれつせつぞくでは、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots

である。

5.1証明しょうめい

直列接続ちょくれつせつぞくでは、すべての抵抗ていこうに同おなじ電流でんりゅう $I$ が流ながれる。全電圧ぜんでんあつは

V = V_{1} + V_{2} + \dots = I R_{1} + I R_{2} + \dots

である。したがって

V = I (R_{1} + R_{2} + \dots)

なので、合成抵抗ごうせいていこうは $R = R_{1} + R_{2} + \dots$ である。

並列接続へいれつせつぞくでは、すべての抵抗ていこうに同おなじ電圧でんあつ $V$ がかかる。全電流ぜんでんりゅうは

I = I_{1} + I_{2} + \dots = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} + \dots

である。したがって

I = V (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots)

である。 $I = V / R$ と比くらべて、

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots

を得える。

6関係式かんけいしき 4：分圧ぶんあつと分流ぶんりゅう

2 つの抵抗ていこう $R_{1}, R_{2}$ が直列ちょくれつなら、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] V_{1} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} V, V_{2} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} V

である。2 つの抵抗ていこう $R_{1}, R_{2}$ が並列へいれつなら、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] I_{1} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} I, I_{2} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} I

である。

6.1証明しょうめい

直列ちょくれつでは電流でんりゅう $I$ が共通きょうつうであり、

V = I (R_{1} + R_{2})

である。したがって

I = \frac{V}{R_{1} + R_{2}}

である。各かく抵抗ていこうの電圧でんあつは $V_{1} = I R_{1}$ 、 $V_{2} = I R_{2}$ なので、

V_{1} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} V, V_{2} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} V

を得える。

並列へいれつでは電圧でんあつ $V$ が共通きょうつうであり、

I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} = V \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

である。したがって

V = I \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

である。各かく枝えだの電流でんりゅうは $I_{1} = V / R_{1}$ 、 $I_{2} = V / R_{2}$ なので、

I_{1} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} I, I_{2} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} I

を得える。

7見分みわけ方かた

分岐点ぶんきてんでは電流法則でんりゅうほうそく。
閉路へいろでは電圧法則でんあつほうそく。
直列ちょくれつでは電流でんりゅうが同おなじ。
並列へいれつでは電圧でんあつが同おなじ。

8どこまで成立せいりつするか

ここでは時間じかんとともに電流でんりゅうが変かわらない直流ちょくりゅうの定常状態ていじょうじょうたいを扱あつかった。交流こうりゅうや過渡現象かとげんしょうでは、コンデンサーやコイルに電荷でんかや磁場じばのエネルギーが蓄たくわえられるため、時間変化じかんへんかを含ふくめる必要ひつようがある。

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum I_{i n} = \sum I_{o u t}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum Δ V = 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] R_{s e r i e s} = \sum_{i} R_{i}, \frac{1}{R_{p a r a l l e l}} = \sum_{i} \frac{1}{R_{i}}

10一言ひとこと

直流回路ちょくりゅうかいろの根ねは、節点せってんでの電荷保存でんかほぞんと、閉路へいろでのエネルギー保存ほぞんである。